Konstruieren Sie einen messbaren Raum (X=\{1,2,3,4\}, \mathcal{A}) ,

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Konstruieren Sie einen messbaren Raum \( (X=\{1,2,3,4\}, \mathcal{A}) \), einen Erzeuger \( \mathcal{E} \) von \( \mathcal{A} \) mit \( X \in \mathcal{E} \) sowie endliche Maße \( \mu \) und \( \nu \) auf \( (X, \mathcal{A}) \) mit \( \left.\mu\right|_{\mathcal{E}}=\left.\nu\right|_{\mathcal{E}} \), aber \( \mu \neq \nu \).

Problem/Ansatz:

Ich checke nicht so ganz wie ich darauf kommen kann. Freue mich über Tipps und Hilfe

Comments

Ich komme leider immernoch nicht weiter. Wäre froh wenn mir jemand helfen kann

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Was sagt denn der Eindeutigkeitssatz für Maße aus?

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Text erkannt:

Gegeben sei eine Menge \( X \) sowie eine \( \sigma \)-Algebra \( \mathcal{A} \) mit Erzeuger \( \mathcal{E} \). Es gilt also
\( \mathcal{A}=\sigma(\mathcal{E}) . \)

Des Weiteren seien zwei Maße \( \mu \) und \( \nu \) auf \( \mathcal{A} \) gegeben. Dann gilt:
Ist \( \mathcal{E} \) durchschnittsstabil, existieren Mengen \( E_{1}, E_{2}, E_{3}, \ldots \) aus \( \mathcal{E} \), so dass
\( X=\bigcup_{i=1}^{\infty} E_{i} \)
und ist
\( \mu(E)=\nu(E) \) für alle \( E \in \mathcal{E} \)
sowie
\( \mu\left(E_{n}\right)=\nu\left(E_{n}\right)<\infty \text { für alle } n \in \mathbb{N}, \)
so ist \( \mu=\nu \).

DAs hier

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Was sollte \( \mathcal{E}\) also erfüllen (bzw. nicht erfüllen), damit so eine Konstruktion überhaupt möglich ist?

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Nicht durchschnittsstabil sein

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Genau, und jetzt muss man bisschen rumprobieren.

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Dann kann der Erzeuger doch { {1}, {3,4} } sein oder?

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Dann gilt aber nicht \(X\in\mathcal{E}\) und auch nicht \(\sigma(\mathcal{E}) = \mathcal{A}\) oder (wobei du nicht gesagt hast was \(\mathcal{A}\) ist)?

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Oh huch ich hab das nicht gesehen. Naja A kann ich ja dementsprechend anpassen.

Aber dann verstehe ich das mit dem Durchschnittsstabil glaube ich falsch. Ich msus doch einen Erzeuger erschaffen, bei dem ich alle Mengen vereinige und die nicht komplett X sind. Dachte ich zumindest

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Ich msus doch einen Erzeuger erschaffen, bei dem ich alle Mengen vereinige und die nicht komplett X sind

wie kommst du darauf? Dadurch dass du die Bedingung \(X\in\mathcal{E}\) hast, ist das sowieso nicht möglich, da so immer \(\bigcup_{E\in\mathcal{E}}E = X\). Dass \(\mathcal{E}\) ein Erzeuger von \(\mathcal{A}\) ist heißt erstmal nur \(\sigma(\mathcal{E}) = \mathcal{A}\).

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Ja genau. Ah moment . Ich hab es jetzt verstanden. Vielen vielen Dank!!!!!!!!

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Ah, ich sehe gerade, dass die Aussage oben schlecht formuliert ist. Durschnitsstabilität hat nichts mit "existieren Mengen \(E_1,E_2,E_3,...\) so dass, ..." zu tun. Das ist nur eine weitere Voraussetzung.

Ein Mengensystem \(\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(\Omega)\) heißt durchschnittsstabil, falls aus \(A,B\in E\) folgt \(A\cap B\in E\).

Answer 1

Hallo,

versuchs mal mit \(\mathcal{E} = \lbrace{\lbrace{1,2\rbrace},\lbrace{2,3\rbrace}, \lbrace{3,4\rbrace}, X\rbrace} \subseteq \mathcal{P}(X) =:  \mathcal{A}\) und

\( \mu = 1/4 \cdot \delta_1 + 3/4 \cdot \delta_2+ 1/4 \cdot \delta_3+ 3/4 \cdot \delta_4\) und

\( \nu = 3/4 \cdot \delta_1 + 1/4 \cdot \delta_2+ 3/4 \cdot \delta_3+ 1/4 \cdot \delta_4 \), wobei \(\delta_x\) das Dirac-Maß bezeichne.

Comments

u({1,2}= 1/4*1+3/4*1 oder? aber dann ist v({1,2}) auch 1? oder verstehe ich etwas falsch. Entweder dreht man einen der Koeffizienten oder man ändert den erzeuger etwas mit {1,3}

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Es geht doch eben darum, dass \(\mu\) und \(\nu\) auf \(\mathcal{E}\) übereinstimmen, aber eben nicht gleich sind.

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Oh gott ja vielen dank. Was tue ich hier gerade bloß?

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Wenn die Unklarheiten jetzt geklärt sind ist doch alles super :)