Zeigen Sie, dass es für die Seitenlänge b = 2a + 1 genau 3a Züge braucht.

Question

Aufgabe:

Es gibt ein rechteckiges Billardfeld mit den Seitenlängen a, b ∈ N.
Die Kugel wird in der linken unteren Ecke unter einem Winkel von 45° losgeschossen. Sie wird reflektiert und rollt ohne Reibungsverlust über das Feld, bis sie in eine Ecke kommt; dort fällt sie in das dort vorhandene Loch.


Zeigen Sie, dass es für die Seitenlänge b = 2a + 1 genau 3a Züge braucht. Ein Zug meint dabei, wenn sich die Kugel geradlinig bewegt bis sie wieder durch eine Reflektion ihre Richtung ändert

Problem/Ansatz:

Ich habe schon einige Ansätze probiert. Zum Beispiel mit Fallunterscheidungen für a gerade/ungerade. Aber ich finde keinen allgemeingültigen Weg

Answer 1

Spontane Idee:

Zeichne ganz viele Rechtecke neben und übereinander.

Statt einer Reflexion zeichnest du einfach die Linie gerade weiter, in das nächste Rechteck.

Answer 2

Hast du es schon mal für a = 1, 2, 3, 4, ... probiert? Das wäre wie ich an solche Aufgabe herangehen würde. Meist kommt einem dabei ja eine Idee.