f(x)= x^2+x+1 ist nicht injektiv?

Question

Problem/Ansatz

Wenn ich für x unterschiedliche reelle ganze Zahlen nehme, kommen doch unterschiedliche y-Werte raus z.B f(3)= 13 und f(4)= 21. Ist es nicht normalerweise injektiv? Als ich mit einer App nachgeschaut habe, stand da, das es nicht injektiv sei.

Ich verstehe aber nicht warum.

Answer 1

Die Injektivität als Eigenschaft einer Funktion beschreibt die Tatsache, dass jedes Element der Zielmenge maximal einmal als Funktionswert angenommen wird

x^2+x+1 = x^2+x+0,5^2-0,5^2+1 = (x+0,5)^2+0,75

Das ist eine verschobene Normalparabel mit dem Scheitel S(-0,5/0,75)

Alle Werte > 0,75 werden zweimal angenommen.

Comments

Achso man muss es also zuerst gleich setzten? bzw. zuerst x1^2+x+1=x2^2+x+1 und dann schauen ob x1=x2 ist ? Ich habe gedacht man muss einfach zahlen für x einsetzen und dann schauen ob da das selbe Ergebnis für y raus kommt oder nicht

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Da wurde nichts gleichgesetzt. Der Term

      x²+x+1

wurde mit Rechenregeln umgeformt.

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Kann man sagen das alle Parabeln bzw. Alle quadratische Funktionen nicht Injektiv sind?

Answer 2

Um Injektivität einer Funktion zu beurteilen, ist es wichtig, den Definitionsbereich der Funktion zu kennen.

Es ist f(-2) = f(1), zumindest wenn sowohl -2, als auch 1 im Definitionsbereich von f liegen. In diesem Fall wäre f nicht injektiv.

Ist der Defnitionsbereich von f aber zum Beispiel das Intervall [-½, ∞), dann ist f injektiv.

Comments

Der Definition Bereich soll für alle Reele zahlen sein (in dieser Aufgabe)

Answer 3

Nein, f(0) = 1 und f(-1) = 1 , aber 0 ist nicht gleich -1.

Wegen dieses Gegenbeispiels ist die Funktion nicht injektiv.