Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen

Question

Hi,

ich bereite mich auf eine Klausur vor und muss das Berechnen von Eigenwertproblemen draufhaben. Nur leider hab ich keine Ahnung von diesem Thema:S.

Kann mir einer vlt. folgende Aufgaben lösen?

                                                                                                1   3   0

Es ist die folgende symmetrische Matrix gegeben:  A=  3   -2  -1

                                                                                                0   -1   1

a.)  Berechenen Sie alle Eigenwerte dieser Matrix.

b.) Berechnen Sie den kleinsten Eigenvektor, der zum kleinsten Eigenwert gehört.

c.) Geben Sie diesen Eigenvektor auch normiert an.

Ich weiß leider überhaupt nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Hoffe einer von euch kann mir dabei helfen :S

Gruß

Comments

Berechne das charakteristische Polynom von A, finde dessen Nullstelln. Das sind dann die Eigenwerte. Ein Eigenvektor v(nicht Null) zum Eigenwert u ist eine Lösung des LGS Av=uv, bzw. äquivalent (A-uE)v=0. Lösungen davon kann man mit Gauß bestimmen.

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ok. ich hab leider nichts davon verstanden. Kannst du vielleicht mir einen Lösungsweg präsentieren?


Gruß

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Könnte ich. Aber wenn du von dem obigen gar nichts verstehst wirst du wahrscheinlich die Lösung auch nicht verstehen. Ohne die Begriffe charakt. Polynome und Lösungsverfahren für lineare gleichungssysteme wirds hier schwierig.

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ich bin gerade dabei die determinante auszurechen. Da hab ich jetzt paar probleme mit dem Ausklammern. vielleicht kannst du mir da weiterhelfen.

Die Eigenwerte sind 1,3,-4 aber ich komme nicht drauf.

Und keine Sorge ich werde es bestimmt verstehen. Ist ja besser als nix ;D


Gruß

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Wenn du mir nicht sagst was du rechnest kann ich dir die fehler auch nicht sagen. Die Eigenwerte kriegt das Intenet auch raus: https://www.wolframalpha.com/input/?i={{1%2C3%2C0}%2C{3%2C-2%2C-1}%2C{0%2C-1%2C1}}

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Ich brauche aber die Rechenwege, nicht nur die Lösungen.

Answer 1

Also ich rechne das mal vor. Kann mir mal einer erklären warum die Matrix symmetrisch ist?

Man zieht in der Hauptdiagonale k oder Lamda ab. Da ich eine Allergie gegen griechische Buchstaben habe nehme ich k.

det([1 - k, 3, 0; 3, -2 - k, -1; 0, -1, 1 - k]) = - k^3 + 13·k - 12 = (1 - k)·(k^2 + k - 12)

Du solltest hier in etwa das gleiche heraus bekommen. Berechne bitte die Determinante mit der Regel von Sarrus.

Die Eigenwerte sind also
(1 - k)·(k^2 + k - 12) = 0

k = -4 ∨ k = 3 ∨ k = 1

Wenn du soweit kommst dann melde dich ruhig nochmal wieder.

Comments

Die Matrix ist ja auch symmetrisch und nicht symmetrisch. :) Was häst du von der Variante t statt k oder lambda zu verwenden?Sieht man öfter, insb. da t oft die 2. Wahl für die Variable eines Polynoms ist.

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Warum ist die Matrix genau symmetrisch ?

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Oh. Ich glaub ich bin zu müde. Danke :)