Zeige das (n+16)(5n+1)(2n-3) durch 6 teilbar ist für alle natürlichen n

Question

Aufgabe:

Zeige das (n+16)(5n+1)(2n-3) durch 6 teilbar ist für alle natürlichen n

Problem/Ansatz:

ich habs auf verschiedene Arten versucht, mein erster Ansatz war für gerade zahlen und ungerade zu gucken (n=2k und n=2k+1) dann steh ich jedoch wieder an den Punkt das ich nicht weiß wie man Teilbarkeit durch 6 zeigt.

Dann hab ich vollständige Induktion versucht, für n=0 kommt man auf -48 was durch 6 teilbar ist und dann für n=n+1 auf den Term (n+17)(5n+6)(2n-1)=10n^3+177n^2+113n-102 ich habe eigentlich gehofft das hier nun eine teilbarkeit durch 6 erkenntlich ist, wie zum beispiel beim Summanden 102 welcher ja durch 6teilbar ist. Jedoch finde ich auch hier nicht weiter :/ kann man das einfach zeigen? (Ist am Anfang von Analysis 1 also denke ich das ein Ansatz mit Modulo(was mein erster gedanke war) nicht erlaubt ist weil wir dies laut skript erst monate nach dem Abgabetermin behandeln.

Comments

ich habe eigentlich gehofft das hier nun eine teilbarkeit durch 6 erkenntlich ist

Das geht nicht mit der Idee eines Induktionsbeweises konform, denn dann hätte man diese Erkenntlichkeit auch schon beim Originalterm sehen können.

Du musst die Induktionsvoraussetzung einbauen !
Dazu kannst du den Originalterm ebenfalls ausmultiplizieren, das Ergebnis gleich 6k setzen und nach 10n^3 auflösen. Diese 10n^3 setzt du in den ausmultiplizierten Term für n+1 ein und erkennst die gesuchte Teilbarkeit.

das ich nicht weiß wie man Teilbarkeit durch 6 zeigt

Man zeigt Teilbarkeit durch 2 und Teilbarkeit durch 3.

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Reicht es nicht die Faktoren auf Teilbarkeit durch 2 und 3 zu untersuchen, indem man die Restklassen modulo 6 betrachtet?

Answer 1

(n+17)(5n+6)(2n-1)=10n³+177n²+113n-102

Bei der Verwendung von n statt (n+1) erhält man 10n³+147n²-211n-48.

Der Unterschied zwischen beiden Termen ist 30n²+324n-54, was summandenweise durch 6 teilbar ist.

Wenn laut Induktionsvoraussetzung 10n³+147n²-211n-48 durch 6 teilbar ist, ist auch

10n³+147n²-211n-48 + (30n²+324n-54) = 10n³+177n²+113n-102 durch 6 teilbar.

Comments

Der Term ist (n+16)(5n+1)(2n-3) mit n=n+1 komm ich dann zu (n+1+16)(5(n+1)+1)(2(n+1)-3) was dann zu 10n³+147n²-211n-48, was du jetzt gemacht hast wäre in n=n+1 nochmal n+1 reinzusetzen also hast du mir jetzt n+2 gezeigt, ich probiere deinen Ansatz mal rückwirkend auf n+1 :) müsste dann ja auch gehen. Ich danke dir.