Exponentialfunktion Tangente Differenzfunktion

Question

Aufgabe:

Aufgabe 1A
Gegeben ist die in \( \mathbb{R} \) definierte Funktion \( q \) mit \( q(x)=e^{-x} \). Für die erste Ableitungsfunktion von \( q \) gilt:

a) Skizzieren Sie den Graphen von \( q^{\prime} \) in Abbildung 1.
Beschreiben Sie, wie der Graph von \( q^{\prime} \) aus dem
Graphen von \( q \) erzeugt werden kann.

b) Zeigen Sie, dass \( t \) mit \( t(x)=-x+1 \) eine Tangente an den Graphen von \( q \) an der Stelle 0 ist.

c) Geben Sie die geometrische Bedeutung der Gleichung \( \int \limits_{0}^{b}(q(x)-t(x)) d x=0,1 \) an. Geben Sie den Wert von \( b \) an.

Problem/Ansatz:

Hab nach b einfach aufgelöst und bekam 0.905… aber es gibt mehrere Lösung. Und wie würden sie die geometrische Bedeutung angeben?

Answer 1

a) Skizzieren Sie den Graphen von q' in Abbildung 1. Beschreiben Sie, wie der Graph von q' aus demGraphen von q erzeugt werden kann.

q(x) = e^{-x}
q'(x) = - e^{-x}

Der Graph von q' entsteht indem der Graph von q an der x-Achse gespiegelt wird.

~plot~ e^(-x);-e^(-x) ~plot~

b) Zeigen Sie, dass t mit t(x) = 1 - x eine Tangente an den Graphen von q an der Stelle 0 ist.

t(x) = q'(0)·(x - 0) + q(0) = -1·(x - 0) + 1 = 1 - x  ✓

c) Geben Sie die geometrische Bedeutung der Gleichung \( \int \limits_{0}^{b}(q(x)-t(x)) d x=0,1 \) an. Geben Sie den Wert von \( b \) an.

Die Funktion q und die Tangente schließen im Intervall von 0 bis b eine Fläche von 0.1 FE ein.

b ≈ 0.9050948917

Comments

Vielen Dank,

Habe B so gelöst. Ist das so auch legitim (Ich hab mir die Funktion auch graphisch darstellen lassen):

Ansatz war, dass x gleich 0 ist, also dass ich schonmal diese Info habe P(0/?). Habe dann x=0 in t(x) eingesetzt (q(x) geht auch). Somit kam ich dann auf 1 also insgesamt P(0/1)

Liebe grüße

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Bei b) würde es langen zu zeigen, dass folgendes gilt:

q(0) = t(0)
q'(0) = t'(0)