Berechnen Sie für x \in(a, b) den Reihenwert in Abhängigkeit von x .

Question

Aufgabe Bestimmen Sie ein möglichst großes Intervall \( (a, b) \), so dass die Reihe
\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4^{k}}(x-2)^{k} \)
für alle \( x \in(a, b) \) konvergiert. Berechnen Sie für \( x \in(a, b) \) den Reihenwert in Abhängigkeit von \( x \).

Answer 1

Aloha :)

Du kennst bestimmt die Summenformel für die geometrische Reihe:$$\sum\limits_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}\quad\text{für}\quad|q|<1$$

Wählst du in der gegebenen Summe ein \(x\) beliebig aus und hälst es dann fest, haben die Summanden die Form von \(q^k\):$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty{\underbrace{\left(\frac{x-2}{4}\right)}_{=q}}^k$$Diese Summe konvergiert für \(|q|<1\), das heißt:$$\left|\frac{x-2}{4}\right|<1\implies|x-2|<4\implies-4<x-2<4\implies-2<x<6$$

Damit sind wir fertig:$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac{x-2}{4}\right)^k=\frac{1}{1-\frac{x-2}{4}}=\frac{4}{4-(x-2)}=\frac{4}{6-x}\quad\text{für }x\in(-2;6)$$

Answer 2

k ausklammern:

[(x-2)/4]^k

Es muss gelten:

|(x-2)/4|< 1

1.Fall:

x>2

(x-2)/4 <1

x-2 <4

x< 6

2.Fall:

x<2

-x+2 < 4

x> -2

L (-2,6)

Summenwert: a0= 1, q= (x-2)/4

Summe = 1/(1- (x-2)/4) = 1/(3/2-x/4)