Für a) musst du den Stichprobenumfang berechnen. Das geht mit der Formel: n ≥ \( (\frac{2*σ*Z1-∝/2}{L})^{2} \)
- n ist der Stichprobenumfang, den du berechnen willst
- Z1-∝/2 ist das Quantil, dass du aus der Normalverteilungstabelle ablesen musst - in diesem Beispiel ist es 1,96
- σ ist die Standardabweichung - hier 5
- L ist die Länge des Intervalls - hier eigentlich 36 Minuten, aber du musst aufpassen, weil du unterschiedliche Einheiten hast (Stunden und Minuten). Deswegen wandeln wir die Länge von 36 Minuten in Stunden um: 36/60=0,6h.
Setzt du deine Werte in die Formel ein erhältst du: n ≥ \( (\frac{2*5*1,96}{0,6})^{2} \) also ist n ≥ 1067,11 und wir brauchen also mindestens 1068 Personen.
Für b musst du das KI berechnen, das geht mit der Formel:
95%KI: [x̅±Z1-∝/2*\( \frac{s}{\sqrt{n}} \) ] (man muss bei Mittelwert mit unbekannter Varianz eigentlich das Quantil aus der T-Tabelle nehmen, bei einer Stichprobe von 400 kannst du aber problemlos auf die Normalverteilung zurückgreifen. Wenn du auf 2 Nachkommastellen rundest kommst du mit t-Wert und z-Wert auf dasselbe Konfidenzintervall am Ende)
Und wenn du einsetzt, erhältst du:
95%KI: [10±1,96*\( \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{400}} \) ]
95%KI: [10±0,38]
95%KI: [9,62; 10,38]
In diesem Video kannst du genauer sehen, wie man so ein Konfidenzintervall für einen unbekannten Mittelwert ermittelt und auch wie du die Quantile aus der Tabelle ablesen kannst: https://youtu.be/GCtWsOpH2yA
In diesem Video siehst du generell ein paar wichtige Infos zu Konfidenzintervallen, wie man sie interpretiert und welche Werte Einfluss auf die Länge des Konfidenzintervalls nehmen können: https://youtu.be/Kp6ktA1e1zg
