Fragen zur Musterlösung: Geben Sie die Abbildungsvorschriften von f ◦ h und g ◦ h ◦ f an

Question

Aufgabe: Geben Sie die Abbildungsvorschriften von f ◦ h und g ◦ h ◦ f an.

f : Q → Q, x → x − 1,

g : Q → Q, x → $\frac{2}{3}$ x,

h : Q → Q, x →  $x^{2}$ + x + 1


Problem/Ansatz:

Benötige Hilfe beim Verstehen von der Lösung (Abbildungsvorschriften). Meine Fragen dazu weiter unten.

Die Musterlösung lautet wie folgt:

f ◦ h(x) = f(h(x)) = f($x^{2}$ + x + 1) = ($x^{2}$ + x + 1) - 1 = $x^{2}$ + x

g ◦ h ◦ f(x) = g(h(f(x))) = g(h(x-1)) = g((x-1)$^{2}$ + (x-1) + 1) = $\frac{2}{3}$((x-1)$^{2}$ + (x-1) + 1) = $\frac{2}{3}$($x^{2}$ - 2x + 1 + x) = $\frac{2}{3}$($x^{2}$ - x + 1)


- Frage für f ◦ h: Warum wird hierbei das x von der Abbildung f : Q → Q, x → x − 1, nicht berücksichtigt?

- Frage zu g ◦ h ◦ f:

1. Das f(x) wird in h(x) eingesetzt?

2. Leider kann ich dem Ergebnis nach dem vorletzten Gleichheitszeichen nicht folgen. Wurden hierbei Schritte übersprungen? Wie wird hier zudem das "-2x" und das zusätzliche "+1", "+x" berechnet?

3. Warum ist es zum Ende hin "-x"?

Answer 1

Hallo

zu f(h(x)) vielleicht schreibst du h(x)=y dabb hast du f(y)=y-1m jetzt setze y=x²+x+1 ein dann hast du f(y)=x13+x+1-1

zu $\frac{2}{3}$((x-1)$^{2}$ + (x-1) + 1) hier wird jetzt (x-1)^2=x^2-2x+1 gesetzt und x-1+1=x das kann man kaum als überspringen deuten, Was machst du denn wenn du die Klammern in dem Ausdruck auflöst?

am Ende hat man ja x²-2x+1 +x jetzt zusammenfassen -2x+x=-x

Aber besser ist du rechnest sowas einfach selbst statt die fertige Lösung anzusehen.

Gruß  lul

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\red{f(x)=x-1}\quad;\quad \green{g(x)=\frac23x}\quad;\quad \blue{h(x)=x^2+x+1}$$

Bei der Bildung verketteter Funktionen musst du von rechts nach links vorgehen.

Bei $(\red f\circ \blue h)(x)$ wirkt zuerst die Funktion $\blue h$ auf das Argument $x$ mit dem Ergebnis $\blue h\blue( x\blue)$.

Auf dieses Ergebnis $\blue{h(}x\blue )$ wirkt dann die Funktion $\red f$ mit dem Ergebnis $\red{f(}\blue{h(}x\blue)\red{)}$.

Formal kannst du das so aufschreiben:$$(\red f\circ\blue h)(x)=\red{f(}\blue{h(}x\blue)\red{)}=\red{f(}\blue{x^2+x+1}\red{)}=\red(\blue{x^2+x+1}\red)\red{-1}=x^2+x$$

Bei der Verkettung von 3 Funktionen gehst du analog vor:$$(\green g\circ \blue h\circ \red f)(x)=(\green g\circ \blue h)(\red{f(x)})=\green g(\blue h(\red f(x)))$$$$\phantom{(\green g\circ \blue h\circ \red f)(x)}=\green g(\blue h(\red{x-1}))=\green g(\,\blue(\red{x-1}\blue{)^2}+\blue(\red{x-1}\blue{)+1}\,)$$$$\phantom{(\green g\circ \blue h\circ \red f)(x)}=\green{\frac23}\green{\left(\blue(\red{x-1}\blue{)^2}+\blue(\red{x-1}\blue{)+1}\right)}$$Jetzt haben alle Abbildungsvorschriften gewirkt und du kannst das Ergebnis vereinfachen:$$(\green g\circ \blue h\circ \red f)(x)=\frac23\left((x^2-2x+1)+(x-1)+1\right)=\frac23\left(x^2-x+1\right)$$