Fragen zur Musterlösung: Geben Sie die Abbildungsvorschriften von f ◦ h und g ◦ h ◦ f an

Question

Aufgabe: Geben Sie die Abbildungsvorschriften von f ◦ h und g ◦ h ◦ f an.

f : Q → Q, x → x − 1,

g : Q → Q, x → \( \frac{2}{3} \) x,

h : Q → Q, x →  \( x^{2} \) + x + 1


Problem/Ansatz:

Benötige Hilfe beim Verstehen von der Lösung (Abbildungsvorschriften). Meine Fragen dazu weiter unten.

Die Musterlösung lautet wie folgt:

f ◦ h(x) = f(h(x)) = f(\( x^{2} \) + x + 1) = (\( x^{2} \) + x + 1) - 1 = \( x^{2} \) + x

g ◦ h ◦ f(x) = g(h(f(x))) = g(h(x-1)) = g((x-1)\(^{2} \) + (x-1) + 1) = \( \frac{2}{3} \)((x-1)\(^{2} \) + (x-1) + 1) = \( \frac{2}{3} \)(\( x^{2} \) - 2x + 1 + x) = \( \frac{2}{3} \)(\( x^{2} \) - x + 1)


- Frage für f ◦ h: Warum wird hierbei das x von der Abbildung f : Q → Q, x → x − 1, nicht berücksichtigt?

- Frage zu g ◦ h ◦ f:

1. Das f(x) wird in h(x) eingesetzt?

2. Leider kann ich dem Ergebnis nach dem vorletzten Gleichheitszeichen nicht folgen. Wurden hierbei Schritte übersprungen? Wie wird hier zudem das "-2x" und das zusätzliche "+1", "+x" berechnet?

3. Warum ist es zum Ende hin "-x"?

Answer 1

Hallo

zu f(h(x)) vielleicht schreibst du h(x)=y dabb hast du f(y)=y-1m jetzt setze y=x^2+x+1 ein dann hast du f(y)=x13+x+1-1

zu \( \frac{2}{3} \)((x-1)\(^{2} \) + (x-1) + 1) hier wird jetzt (x-1)^2=x^2-2x+1 gesetzt und x-1+1=x das kann man kaum als überspringen deuten, Was machst du denn wenn du die Klammern in dem Ausdruck auflöst?

am Ende hat man ja x^2-2x+1 +x jetzt zusammenfassen -2x+x=-x

Aber besser ist du rechnest sowas einfach selbst statt die fertige Lösung anzusehen.

Gruß  lul

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\red{f(x)=x-1}\quad;\quad \green{g(x)=\frac23x}\quad;\quad \blue{h(x)=x^2+x+1}$$

Bei der Bildung verketteter Funktionen musst du von rechts nach links vorgehen.

Bei \((\red f\circ \blue h)(x)\) wirkt zuerst die Funktion \(\blue h\) auf das Argument \(x\) mit dem Ergebnis \(\blue h\blue( x\blue)\).

Auf dieses Ergebnis \(\blue{h(}x\blue )\) wirkt dann die Funktion \(\red f\) mit dem Ergebnis \(\red{f(}\blue{h(}x\blue)\red{)}\).

Formal kannst du das so aufschreiben:$$(\red f\circ\blue h)(x)=\red{f(}\blue{h(}x\blue)\red{)}=\red{f(}\blue{x^2+x+1}\red{)}=\red(\blue{x^2+x+1}\red)\red{-1}=x^2+x$$

Bei der Verkettung von 3 Funktionen gehst du analog vor:$$(\green g\circ \blue h\circ \red f)(x)=(\green g\circ \blue h)(\red{f(x)})=\green g(\blue h(\red f(x)))$$$$\phantom{(\green g\circ \blue h\circ \red f)(x)}=\green g(\blue h(\red{x-1}))=\green g(\,\blue(\red{x-1}\blue{)^2}+\blue(\red{x-1}\blue{)+1}\,)$$$$\phantom{(\green g\circ \blue h\circ \red f)(x)}=\green{\frac23}\green{\left(\blue(\red{x-1}\blue{)^2}+\blue(\red{x-1}\blue{)+1}\right)}$$Jetzt haben alle Abbildungsvorschriften gewirkt und du kannst das Ergebnis vereinfachen:$$(\green g\circ \blue h\circ \red f)(x)=\frac23\left((x^2-2x+1)+(x-1)+1\right)=\frac23\left(x^2-x+1\right)$$