Zeigen Sie, dass $p$ unendlich viele Glieder der folgenden Folgen teilt:

Question

Aufgabe:

Sei $$p \in \mathbb{N}$$ eine Primzahl, $$p \neq 2,5$$. Zeigen Sie, dass $$p$$ unendlich viele Glieder der folgenden Folgen teilt:
(a) $$9,99,999,9999, \ldots$$
(b) $$1,11,111,1111, \ldots$$

Hinweis: Betrachten Sie die Elementen $$10^n$$ in $$\mathbb{Z}_p$$.

Problem/Ansatz:

Kann man das mit dem kleinen Satz von Fermat machen?

Wie genau bin ich mir nicht sicher?

Answer 1

Das geht tatsächlich gut mit dem Kleinen Fermat:

Wir rechnen modulo \(p\):

(a) Da \(2,\,5 \neq p \) liefert der kleine Fermat

$$10^{p-1} \equiv 1 \mod p\Rightarrow 10^{k(p-1)} \equiv 1 \mod p$$

Also: \(\underbrace{10^{k(p-1)} -1}_{\underbrace{9\ldots 9}_{k(p-1)\:9er}}\equiv 0 \mod p\)

(b)

Für \(p=3\) ist offensichtlich jede 3. der Zahlen durch 3 teilbar (Quersumme).

Für \(p \neq {2,3,5}\) erhalten wir mit

\(a^n-1 = (a-1)(a^{n-1}+ \cdots + a + 1)\) folgendes mit (a):

$$10^{k(p-1)} -1 \equiv 9\left( 10^{k(p-1)-1} + \cdots 10 + 1 \right)\equiv 0 \mod p $$$$\stackrel{\cdot 9^{-1}\mod p}{\Longrightarrow}10^{k(p-1)-1} + \cdots 10 + 1 \equiv 0 \mod p$$

Falls irgend etwas unklar ist - einfach fragen.