Wie Richtungsvektor bestimmen

Question

Aufgabe: Gib eine Parameterform der Gerade g an die durch die Punkte A=(-1|0|2) und B=(-3|2|0) verläuft und überprüfe, ob der Punkt C= (1|-2|4) auf g liegt.

Problem/Ansatz: Diese Aufgabe wurde schon vorgelöst und es steht g:X=(-1|0|2)+t*(-1|1-1)

Neben steht AB= (-2|2|-2) || (-1|1|-1)

Auf den ersten Vektor bin ich durch B-A gekommen aber wie kommt man dann auf (-1|1|-1)? Und wieso wird nicht einfach B-A verwendet?

Answer 1

Aloha :)

Deine Überlegungen sind korrekt. Beim geradlinigen Weg von \(A(-1|0|2)\) zu \(B(-3|2|0)\), ändert sich die x-Koordinate um \((-2)\), die y-Koordinate um \((+2)\) und die z-Koordinate um \((-2)\). Die gesuchte Gerade kannst du daher in folgender Form darstellen:$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-2\\2\\-2\end{pmatrix}\quad;\quad s\in\mathbb R$$

Diese Darstellung ist jedoch nicht eindeutig. Du kannst z.B. nur halb so große Schritte machen$$\begin{pmatrix}-2\\2\\-2\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}$$und dafür die Anzahl der Schritte verdoppeln:$$s\to2s$$Das führt uns dann auf die Geradengleichung:$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}+(2s)\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}\quad;\quad s\in\mathbb R$$

Da \(s\in\mathbb R\) jeden beliebigen Wert annehmen kann, gilt dies auch für \(2s\), sodass du eine neue Schrittvariable \(t=2s\) einführen kannst:$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}\quad;\quad t\in\mathbb R$$

So kannst du im Prinzip den Richtungsvektor der Geraden durch jeden anderen Vektor austauschen, der zu dem bestehenden Richtungsvektor parallel oder anti-parallel liegt.

Für \(t=-2\) findest du den Punkt \(C(1|-2|4)\) auf der Geraden.

Comments

Alles klar Danke!

Answer 2

Richtungsvektoren darf man mit jeder beliebigen Zahl/Wert multiplizieren. Also auch mit 0.5 = 1/2

Es kommt hier ja nur auf die Richtung und nicht auf die Länge an. Das macht man, damit man einfachere Werte hat.

Und wieso wird nicht einfach B-A verwendet?

Hätte man auch nehmen können und ich hätte das auch gemacht. Es gibt aber noch eine geschicktere Variante

Richtungsvektor AB
AB = [-2, 2, -2]

Geradengleichung
g: X = [-1, 0, 2] + r * [-2, 2, -2]

Richtungsvektor AC
AC = [2, -2, 2]

AC = - AB → AC ist parallel zu AB und damit liegt C auf der Geraden durch A und B.

Comments

Ah okay danke!!