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Aufgabe 5 (12 Punkte)
Seien \( \mathbb{E}=\left(\binom{0}{0} ;\binom{1}{0},\binom{0}{1}\right) \) und \( \mathbb{F}=\left(\binom{0}{0} ; \frac{1}{5}\binom{4}{-3}, \frac{1}{5}\binom{3}{4}\right) \) Koordinatensysteme von \( \mathbb{R}^{2} \). Bezüglich \( \mathbb{E} \) heißen die Koordinaten \( x_{1}, x_{2} \). Bezüglich \( \mathbb{F} \) heißen die Koordinaten \( y_{1}, y_{2} \).
Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}:\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto 4 x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \). Sei die Quadrik \( Q \) bezüglich \( \mathbb{E} \) beschrieben durch
\( Q: 4 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=16, \)
also als Niveaumenge von \( f \) zum Niveau 16 .
(a) Zeichnen Sie \( \mathbb{F} \) und \( Q \) in das Standardkoordinatensystem \( \mathbb{E} \) ein.
(b) Sei \( P \) der Punkt mit \( { }_{\mathbb{E}} P=\frac{4}{5}\binom{-2}{3} \). Liegt der Punkt \( P \) auf der Quadrik \( Q \) ?
(c) Berechnen Sie den Gradienten \( \nabla f\left(x_{1}, x_{2}\right) \).
(d) Sei \( g \) die Tangente an die Quadrik \( Q \) durch den Punkt \( P \) aus (b).
Berechnen Sie einen Richtungsvektor von \( g \).
Zeichnen Sie \( P \) und \( g \) in die Zeichnung aus (a) ein.
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(c) Es ergibt sich der Gradient \( \nabla f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\binom{8 x_{1}}{2 x_{2}} \).
(d) Es steht \( \nabla f(P)=\frac{1}{5}\binom{-64}{24}=\frac{8}{5}\binom{-8}{3} \) orthogonal auf der Tangente \( g \) durch \( P \) an die Niveaumenge von \( f \).
Ein Richtungsvektor von \( g \) ergibt sich somit zu \( \binom{3}{8} \).
Wir erhalten folgende Zeichnung.
Hallo,
Trotz Lösung komme ich nicht darauf, wie man den Richtungsvektor bestimmt. Könnte mir jemand das bitte erklären?
LG
