Partialsummen berechnen für n>=3

Question

Bestimmen Sie für \( n \geq 3 \) die Partialsumme \( s_{n}=\sum \limits_{k=3}^{n}\left(\frac{2}{5}\right)^{k} \) der Reihe \( s=\sum \limits_{k=3}^{\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{k} \). Berechnen Sie den Wert der Reihe, indem Sie den Grenzwert \( s=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} s_{n} \) berechnen.
\( \begin{array}{l} s_{n}=? \\ s=? \end{array} \)

Answer 1

\( s_{n}=\sum \limits_{k=3}^{n}\left(\frac{2}{5}\right)^{k} \)   n≥3

\( s_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\frac{2}{5}\right)^{k} -\left(\frac{2}{5}\right)^{2}-\left(\frac{2}{5}\right)^{1}-\left(\frac{2}{5}\right)^{0}    \)

\(=\frac{(\frac{2}{5})^{n+1}-1   }{\frac{2}{5}-1 }  -\left(\frac{2}{5}\right)^{2}-\left(\frac{2}{5}\right)^{1}-\left(\frac{2}{5}\right)^{0} \)

\(=\frac{(\frac{2}{5})^{n+1}-1  }{-\frac{3}{5} }  -\frac{4}{25}-\frac{2}{5}-1 \)

Für n gegen ∞ ist der Grenzwert

\(s=\frac{-1  }{-\frac{3}{5} }  -\frac{4}{25}-\frac{2}{5}-1=\frac{5}{3}   -\frac{4}{25}-\frac{2}{5}-1 \)

\( =\frac{125}{75}  -\frac{12}{75}-\frac{30}{75}-1=\frac{8}{75} \)

Comments

ich verstehe nicht, wie man auf 2/5^n+1 -1/(2/5 -1) kommt.

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Das ist die Summenformel für die geometrische Reihe.

siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Berechnung_der_(endlichen)_Partialsummen_einer_geometrischen_Reihe

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ah, alles klar. Vielen dank,