Partialsumme von an = 2^(1 - n)·(2·n - 1)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Folge

an = 2^(1 - n)·(2·n - 1)

Gesucht ist die Partialsumme

sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

Wie kommt man am geschicktesten auf

sn = 6 - 2·0.5^n·(2·n + 3)

Comments

Dürfen die Reihenwerte von\(\sum\limits_{k=1}^\infty\frac1{2^k}\) und \(\sum\limits_{k=1}^\infty\frac k{2^k}\) als bekannt vorausgesetzt werden?

Answer 1

Wie kommt man am geschicktesten auf ...

Mein Prof sagte einst: Durch intelligentes Probiere! Mit etwas Erfahrung bei solchen Reihe weiß man dass $$b_n = \sum_{i=0}^n 2^n = 2^{n+1} - 1$$ist und $$c_n = \sum_{i=0}^n 2^{-n} = 2 - 2^{-n}$$ D.h. wenn in den Folgegliedern ein \(2^{-n}\) auftaucht, kann man in der Reihe ebenfalls mit einem \(2^{-n}\) und einem konstantem Ausdruck rechnen. Und den Faktor mit \((2n-1)\) berücksichtige ich ebenso durch einen linearen Faktor.

Vermutung: die Reihe berechnet sich nach:$$s_n = 2^{-n}\cdot (an+b) + c $$ Jetzt noch die ersten drei Werte für \(s_n\) berechnen ... $$s_1 = 1, \quad s_2 = \frac 32, \quad s_3 = \frac 54$$und dann kann man das LGS aufstellen:$$\begin{pmatrix} \frac 12 & \frac 12 & 1 \\ \frac 12 & \frac 14 & 1 \\ \frac 38 & \frac 18& 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a\\b\\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_1\\s_2 \\ s_3 \end{pmatrix}$$Mit der Lösung \(a=-4\), \(b=-6\) und \(c=6\). Macht:$$s_n = 2^{-n}(-4n - 6) + 6 = 6 - 2 \cdot \left( \frac12 \right)^{n}(2n+3)$$ Dann noch für weitere Werte \(s_n\) mit \(n>3\) überprüfen und/oder mit vollständiger Induktion Korrektheit nachweisen.

Gruß Werner