anhand der Partialsumme ursprüngliche Folge berechnen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine Folge (a_k). Die n-te Partialsumme dieser Folge sei

\( S_{n}=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i}=\frac{n+1}{2 n+1} \)

 Bestimmen Sie die Glieder a_k (k = 1,2,...) der Folge.

für n = 1, 2, ...

Problem/Ansatz:

die einzelnen Glieder auszurechnen ist einfach, dafür muss ich ja nur s_n - s_n-1 berechnen bzw. das erste ist 2/3

Jedoch fehlt mir das Verständnis, wie ich auf eine allgemeine Formel komme, die die Glieder a_k beschreibt.

man hat mir gesagt, die Lösung sei

\( a_{k}=-\frac{1}{(2 k+1)(2 k-1)} \)

jedoch bringt mich das nicht weiter

ich würde mich sehr über eine Erklärung wie ich von der n-ten Partialsumme auf die dazugehörige Folge komme freuen

Vielen Dank im voraus

Comments

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Ich weiß ja nicht, was du am Vorzeichen erkannt haben willst.

Da es sich bei der Partialsummenfolge um eine fallende Folge handelt, MÜSSEN die Summanden der Ursprungsfolge (mit Ausnahme von a1) negativ sein.

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Sorry, a₁ übersehen.

Answer 1

Aloha :)

Für \(n\ge2\) schreibst du richtig: \(S_n=a_n+S_{n-1}\). (Diese Beziehung kannst du für \(n=1\) nicht ansetzen, weil \(S_0\) nicht existiert.) Damit kannst du \(a_n\) für \(n\ge2\) bestimmen:

$$a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{n+1}{2n+1}-\frac{(n-1)+1}{2(n-1)+1}=\frac{n+1}{2n+1}-\frac{n}{2n-1}$$$$\phantom{a_n}=\frac{(n+1)(2n-1)-n(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)}=\frac{2n^2+2n-n-1-2n^2-n}{(2n+1)(2n-1)}$$$$\phantom{a_n}=\frac{-1}{(2n+1)(2n-1)}\quad;\quad(n\ge2)$$Damit du die Aufgabe vollständig gelöst hast, musst du noch \(a_1\) angeben:$$a_1=S_1=\frac{1+1}{2\cdot1+1}=\frac{2}{3}$$Wir haben gefunden:$$a_n=\left\{\begin{array}{c}\frac{2}{3} &\text{falls}&n=1\\\frac{-1}{(2n+1)(2n-1)}&\text{falls}&n\ge2\end{array}\right.$$

Answer 2

muss ich ja nur s_n - s_n-1 berechnen

Und warum tust du es nicht?

Vereinfache den Term \(\frac{n+1}{2 n+1} - \frac{(n-1)+1}{2 (n-1)+1}\).

(Erst mal den Subtrahend vereinfachen, dann Brüche gleichnamig machen, damit du subtrahieren kannst...)

Answer 3

Hallo

 du hattest ja den richtigen Ansatz, für a_k musst du eben S_k-S_(k-1) bestimmen, das gibt das gepostet Ergebnis. für k>1

 nur a_1 kann man so nicht ausrechnen, weil es kein a_0 gibt, die Summe fängt bei i=1 an

Gruß ledum