Zeige |x · y| ≤ \frac{1}{2}|x^2+y^2| mithilfe der Körperaxiome

Question

Aufgabe: Zeige \( |x \cdot y| \leq \frac{1}{2}|x^2+y^2| \)

Problem/Ansatz: Habe versucht den Betrag mit der Dreiecksungleichung zu kontrollieren, aber bin gescheitert.

Answer 1

Ich vermute:   Axiome für die reellen Zahlen.

Beginne mit  (|x|-|y|)^2 ≥ 0   und forme geeignet

um. Bedenke auch |x|^2 = x^2  und x^2 + y^2 =|x^2 + y^2|.

Comments

Ganz genau. Danke erstmal für die schnelle Antwort.

Darf ich fragen, wie man auf den Ansatz mit \( (|x|-|y|)^2 \geq 0 \) kommt.

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\( |x \cdot y| \leq \frac{1}{2}|x^2+y^2| \)

\( 2|x \cdot y| \leq |x^2+y^2| \)

\(  0 \leq |x^2+y^2| - 2|x \cdot y| \)

hat mich sehr an binomische Formel erinnert.

Außerdem helfen natürlich ein paar

Jahrzehnte Erfahrung mit Mathe.

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Wunderbar.

..Dann mache ich mich mal an die nächste Aufgabe :-) Grüße

Answer 2

So könnte es doch auch klappen:

\( |x \cdot y| \leq \frac{1}{2}|x^2+y^2| \)

\( 2|x \cdot y| \leq |x^2+y^2|    |^{2}\)

\( 4x^2 \cdot y^2 \leq x^4+2x^2y^2+y^4    \)

\( 0 \leq x^4-2x^2y^2+y^4    \)

\( 0 \leq (x^2-y^2)^2    \)