Kugelgleichung die 2 Ebenen berührt mit Mittelpunkt der auf Geraden liegt

Question

Wir haben in der Schule die folgende Aufgabe bekommen:

Bestimmen Sie die Gleichung der Kugel, die die beiden Ebenen mit den Gleichungen E₁:x₁ + 3x₂ - 2x₃ = 5 und E₂: x₁ + 3x₂ - 2x₃ = -7 berührt und deren Mittelpunkt auf der Geraden mit der Gleichung g:x= (2|-5|3) +t*(1|-3|2) liegt.

Ich habe keine Ahnung wie ich an so eine Aufgabe herangehen soll. Vielleicht könnt Ihr mir helfen. Wäre SUPER.

Answer 1

Zunächst mal solltest du eventuell erkennen, das beide Ebenen parallel liegen. Das heißt du solltest die Mittelparallele Ebene (keine Ahnung ob man die wirklich so nennt) aufstellen.

x + 3·y - 2·z = -1

Und jetzt den Schnittpunkt mit der Geraden bilden

g: X = [2, -5, 3] + t * [1, -3, 2] = [t + 2, - 3·t - 5, 2·t + 3]


x + 3·y - 2·z = -1
(t + 2) + 3·(- 3·t - 5) - 2·(2·t + 3) = -1
t = - 3/2

M = [2, -5, 3] - 3/2 * [1, -3, 2] = [0.5, -0.5, 0]


Jetzt noch den Abstand des Mittelpunktes mit einer Ebene bilden um den Radius zu bekommen

x + 3·y - 2·z = 5
r = (x + 3·y - 2·z - 5) / √14
r = ((0.5) + 3·(- 0.5) - 2·(0) - 5) / √14 = - 3/7·√14
r^2 = 18/7


Kugelgleichung

K: (x - 0.5)^2 + (y + 0.5)^2 + z^2 = 18/7