Zeigen Sie: Wenn p ≥ 5 eine Primzahl ist, dann ist p^2 − 1 durch 24 teilbar.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Wenn p ≥ 5 eine Primzahl ist, dann ist p^2 − 1 durch 24 teilbar.

Answer 1

Hallo,

$$p^2-1 = (p-1)(p+1)$$betrachte die Reste der Division von \(p\) durch \(3\) und \(4\). Da \(p\) eine Primzahl \(\ge 5\) ist, kann $$ p \equiv r \mod 3 \quad \implies r \in \{1,\,2\}$$ sein. Im Fall von \(r=1\) ist \(p-1\) und im Fall von \(r=2\) ist \(p+1\) durch \(3\) teilbar. $$p \equiv r \mod 4 \implies r \in \{1,3\}$$Für \(r=1\) ist \(p-1\) durch \(4\) und \(p+1\) durch \(2\) teilbar. Also ist \((p-1)(p+1)\) durch \(8\) teilbar. Und bei \(r=3\) ist es umgekehrt.

Daraus folgt dann die Teilbarkeit durch \(3\cdot 8 = 24\).

Gruß Werner

Answer 2

Keinen Spaß daran selbst zu probieren? Schade.

Tipp: 3. bin. Formel. Überlege Dir: einer der Faktoren ist durch 2 teilbar, einer durch 4, und einer durch 3 (letzteres, weil p nicht durch 3 teilbar ist).

Wenn ich es richtig sehe, muss p auch keine Primzahl sein, es reicht, wenn sie ungerade ist und nicht durch 3 teilbar.

Answer 3

Es gilt \( p ^{ 2}-1 = ( p + 1) ( p - 1)  \). Also teilt \( 3 \) einen der beiden Faktoren (da es nicht \( p \) teilt). Auch teilt \( 4 \)
eine der Beiden Faktoren, da \( p - 2 \) und \( p \) ungerade sind. Da beide Faktoren gerade sind, werden sie beide von \( 2 \) geteilt. Insbesondere teilt also \( 2 \cdot 4 \cdot 3 = 24 \) das Produkt der beiden Faktoren.

(Habe jetzt erst gesehen, dass es meine Antwort schon gibt).

Answer 4

Wegen \(p\geq 5\) gilt per kleinem Fermat:

\(p^2 \equiv 1 \mod 3 \Rightarrow 3| (p^2-1)\)

Außerdem gilt entweder

\(p =4k+1 \Rightarrow p^2 \equiv 16k^2+8k+1 \equiv 1 \mod 8\)

oder

\(p =4k+3 \Rightarrow p^2 \equiv 16k^2+24k+9 \equiv 1 \mod 8\)

Also auch \(8|(p^2-1)\)

Da 3 und 8 die Zahl \((p^2-1)\) teilen, wird \((p^2-1)\) auch von 24 geteilt.

Answer 5

Eine Primzahl p ≥ 5 kann in der Form p = 6·n ± 1 dargestellt werden.

Damit gilt

p^2 - 1 = (6·n ± 1)^2 - 1 = 36·n^2 ± 12·n = 12·n·(3·n ± 1)

Entweder ist nun n gerade oder 3·n ± 1 ist gerade. Damit ist der Term auf jeden Fall durch 24 teilbar.