Gesuchte Funktion ϕ−1 = f(ϕ)

Question

Aufgabe:

Es sei K ein Körper und n ∈ N. Ferner sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über K
und ϕ: V → V ein Endomorphismus von V . Zeigen Sie folgende Aussagen:
a) ϕ ist genau dann ein Automorphismus von V , wenn µϕ(0)≠0 ist.
b) Ist ϕ invertierbar, so existiert ein f ∈ K[X] mit deg(f) < n und ϕ⁻¹ = f(ϕ).
c) Es seien V = R^3×1 und A = (siehe Bild). Bestimmen Sie solch ein Polynom f ∈ R[X] für ϕ: V → V, v → Av und berechnen Sie damit ϕ⁻¹.

Text erkannt:

Es sei \( K \) ein Körper und \( n \in \mathbb{N} \). Ferner sei \( V \) ein \( n \)-dimensionaler Vektorraum über \( K \) und \( \varphi: V \rightarrow V \) ein Endomorphismus von \( V \). Zeigen Sie folgende Aussagen:
a) \( \varphi \) ist genau dann ein Automorphismus von \( V \), wenn \( \mu_{\varphi}(0) \neq 0 \) ist.
b) Ist \( \varphi \) invertierbar, so existiert ein \( f \in K[X] \operatorname{mit} \operatorname{deg}(f)<n \) und \( \varphi^{-1}=f(\varphi) \).
c) Es seien \( V=\mathbb{R}^{3 \times 1} \) und
\( A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 6 & 7 \\ 4 & 2 & 42 \\ -5 & 3 & -2 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \)

Bestimmen Sie solch ein Polynom \( f \in \mathbb{R}[X] \) für \( \varphi: V \rightarrow V, v \mapsto A v \) und berechnen Sie damit \( \varphi^{-1} \).

Problem/Ansatz:

Hallo ihr Lieben,

bei dieser Aufgabe weiß ich nicht weiter. Nr. a) habe ich, brauche aber noch b) und c). Da man in c) die b) verwenden soll, muss in b) ja ein bestimmtes Vorgehen gezeigt werden, wie dieses f gefunden werden kann. Ich bitte euch um eure Hilfe.

Ein hilfreiches Lemma aus dem Skript könnte das hier sein:

Es sei φ ∈ EndK(V ). Für f ∈ K[X] sind äquivalent:
1. f(φ) ist invertierbar.
2. f und µ_φ sind teilerfremd.

Vielen Dank!

Comments

Falls ihr Cayley-Hamilton schon hattet, dann weißt für das charakteristische Polynom \(\chi\):

\(\chi(\phi)= 0\).

Wegen a) kannst du \(\chi(\phi)\) nach \(id_V\) auflösen und erhältst

\(id_V = \phi p_{n-1}(\phi)\) mit einem Polynom \(p_{n-1}\) vom Grad n-1.

Du musst also nur das charakteristische Polynom umstellen.

---

@trancelocation Was meinst du genau mit nach idv auflösen? Kannst du die Schritte, wie ich auf das pn-1 komme vielleicht ausführlicher erklären? :(

Answer 1

Mit \(id_V\) ist die identische Abbildung auf \(V\) gemeint. Also \(id_V(x) = x\) für alle \(x\in V\).

Charakteritisches Polynom von \(\phi\) sei

\(\chi(t) = t^n +a_{n-1}t^{n-1} + \cdots + a_1 t + a_0\)

Beachte, dass \(a_0 = (-1)^n\det \phi\) gilt. Damit folgt sofort Teil a).

Nun kommt \(id_V\) ins Spiel per Hamilton-Cayley:

\(\chi(\phi) = \phi^n +a_{n-1}\phi^{n-1} + \cdots + a_1 \phi + {\color{blue}{a_0 id_V}} = 0 \quad (1)\)

Beachte, dass in (1) die 0 für die Nullabbildung in V steht.

Weiterhin soll \(\phi\) nun inveriterbar sein, also ist \( \color{blue}{a_0 \neq 0}\). Damit kannst du (1) umformen zu

\(\begin{array}{rcl} id_V & = &  -\frac 1{a_0}\left(\phi^n +a_{n-1}\phi^{n-1} + \cdots + a_1 \phi\right) \\ & = & \phi \underbrace{\left(-\frac 1{a_0}\phi^{n-1} -\frac{a_{n-1}}{a_0}\phi^{n-2} - \cdots -\frac{a_1}{a_0} id_V\right)}_{=\phi^{-1}} \end{array}\)

Das in b) gesuchte Polynom ist also

\(f(t) = -\frac 1{a_0}t^{n-1} -\frac{a_{n-1}}{a_0}t^{n-2} - \cdots -\frac{a_1}{a_0}\)

Nachtrag:

In deinem Aufgabentext steht \(\mu_{\phi}\). Mit \(\mu\) wird üblicherweise das Minimalpolynom bezeichnet. Dieses ist Teiler des charakteristischen Polynoms und definitionsgemäß gilt \(\mu_{\phi}(\phi) =0\) (Nullabbildung). Du kannst also obige Rechnung auch mit \(\mu\) statt \(\chi\) durchführen und brauchst dich nicht auf Hamilton-Cayley berufen, um \(\mu_{\phi}(\phi) =0\) zu haben.

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Dankeschön!!