Sei (an)n∈N eine Folge positiver reeller Zahlen mit limn→∞ an = 0.

Question

Aufgabe:

Sei (an)n∈N eine Folge positiver reeller Zahlen mit limn→∞ an = 0. Beweisen Sie, dass es unendlich viele Indizes n gibt, so dass am ≤ an fur alle ¨ m ≥ n gilt

Answer 1

Das kannst du durch einen Widerspruchsbeweis zeigen.

Dazu nimmst du das Gegenteil der Behauptung an:

\(\exist\, N \in \N:\; \forall\, n\geq N\: \exist\, m_n > n:\: a_{m_n}> a_n\)

Damit kannst du eine Teilfolge \(a_{n_k}\) konstruieren mit \(a_{n_k}>a_N > 0\).

Näheres dazu nur auf Nachfrage und gezeigtem Engagement deinerseits.

Diese Teilfolge kann dann aber nicht gegen Null konvergieren, was ein Widerspruch zu \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n = 0\) ist.