Urbild, Bijektivität und Komposition einer Funktion

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f: ℕ²→ℕ mit f(m,n)= 2^m-1 *(2n-1)
1.) Berechne das Bild f(A) der Menge A={(1,1),(2,1),(1,2),(3,1),(1,3)}
2.) Geben sie das Urbild f^-1 ({3,10,33}) an.

3.) Begründen Sie, dass die Funktion f bijektiv ist.

4.) g ist die Funktion g : ℕ²  →ℕ² mit g(x,y)=(x+1,y+1). Geben Sie die Komposition f kringel g an.

Problem/Ansatz: 1.) ist im Prinzip nur Funktionswerte ausrechnen. Da habe ich 1,2,3,4,5 raus.
2.) Da ist genau das Gegenteil gesucht, die x-Werte. Ich weiß aber nicht wie ich die Umkehrfunktion von f in der Darstellung hinbekomme. Klassich mit ner f(x) geht das, aber in der Darstellung habe ich keine Idee.

Durch die Darstellung weiß ich auch nicht wie ich 3.) und 4.) lösen soll.

Answer 1

1) habe ich auch.

2) Da musst du diverse (m,n) aus der Menge IN^2 nehmen, mit denen bei der Einsetzung in die Funktion eben diese Werte rauskommt. Da musst du probieren, indem du verschiedene (m,n) einsetzt und guckst , für welche 3, 10 und 33 rauskommt. Für f^-1(3) hast du bei der 1) schon mal eine Antwort. Für f^-1(10) gebe ich dir noch eine Antwort: (2,3) . Für f^-1(33) kannst du die Antwort suchen.

3) Da musst du die Injektivität+Surjektivität der Funktion zeigen: Bei Injektivität gilt, dass wenn f(m,n)=f(m',n') gilt, dass am Ende (m,n)=(m',n') herauskommt, also m=m' und n=n' rauskommt. Also beginnst du von 2^(m-1)*(2n-1)=2^(m'-1)*(2n'-1). Weil beide Seiten gleich sind, kannst du den Koeffizienten 2 auf beiden Seiten vergleichen, da kommt m=m' heraus. Durch Umformungen kannst du auch n'=n herausbekommen.

Bei Surjektivität.  musst du ein beliebiges Paar (m,n) aus der Menge IN^2, mit dem dann ein beliebiger x aus IN rauskommt, wobei (m,n) in Abhängigkeit von x ist. Also für alle x aus IN gibt es ein (m,n), mit f(n,m)=x. Für ungerade x bekomme ich f(1,(x+1)/2)=x raus, da wäre die Surjektivität für ungerade x bewiesen , für gerade x weiß ich aber nicht.

4) bestimme f(x+1,y+1)

keine Garantie bei meiner Antwort.

Comments

2.) ah ok. Also ist quasi f^-1(33)=(6,1)

3.) ist das Problem das wir keine Ableitung verwenden dürfen.

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falsch, da kommt 32 raus. Und bei 3) musst du nicht ableiten