Berechnen Sie \frac{z}{y} ohne TR.

Question

Aufgabe:

Für welche Zahlen n ist z1^n eine natürliche Zahl.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand sagen, wie ich Aufgabe c richtig lösen kann?

Vielen Dank im Voraus!

Text erkannt:

a) Zeichnen Sie die beiden Zahien in der Gausschen-Zahienobeng
b) Berechnen Sie \( \frac{z}{y} \) ohne TR.
c) Für welche Zahlen \( n \) ist \( z_{1} \) eine naturliche Zahl \( (2,5,3 \) Punkte)
b)
\( \begin{aligned} \frac{z_{1}}{z_{2}} & =\frac{(1+i)}{(-\sqrt{3}+i)} \cdot(-\sqrt{3}-i)=\frac{-\sqrt{3}^{-1} i-\sqrt{3} i-i^{2}}{\sqrt{3}^{2}-i^{2}}=\frac{i(-\sqrt{3}}{3+1} \\ & =\frac{i(-\sqrt{3}+1)}{4}=\frac{-\sqrt{3}+1 \cdot i}{4} \quad 1 / 1 \end{aligned} \)
C)
\( \begin{array}{l} z_{1}^{n}=\underbrace{|z|^{n}}_{\in \mathbb{N}}(\underbrace{\cos (n \cdot \alpha)}_{=1}+i \underbrace{\frac{s i n}{\sin (n \cdot \alpha)}}_{=0}) \\ =\sqrt{2}^{n} \cdot(\cos (n \cdot 45), \\ \Rightarrow 0 ; 180 ; 360 ; \cdots . \\ \end{array} \)
\( 0,5 / 1 \)

Answer 1

\( \sqrt{2}^{n} \cdot(\cos (n \cdot 45°) \)

ist doch schon ganz gut.

Wann ist das eine nat. Zahl ?

Erst mal muss n gerade sein, damit (√2)^n eine ist.

Und \(  \cos (n \cdot 45°) \) ist für n=0, n=4, n=8 etc. gleich 1.

Also : n muss Vielfaches von 4 sein.