Bestimmen Sie die algebraische Darstellung sowie die Exponentialdarstellung der komplexen Zahl z?

Question

Text erkannt:

\( \frac{(1+\mathrm{i})^{21}}{2^{10}} z+\mathrm{e}^{\frac{4}{3} \pi \mathrm{i}}=\mathrm{i} \)

Aufgabe:

Bestimmen Sie die algebraische Darstellung sowie die Exponentialdarstellung der komplexen Zahl z, die

\( \frac{(1+i)^{21}{(2^{10}} \)*z+e\( x^{\frac{4}{3}}*π*i\)=i

erfüllt!

Problem/Ansatz:

Komme leider nicht weiter als dass man evtl nach z umstellt. Danke im voraus!

Answer 1

Aloha :)

Wir schreiben die Terme in der Gleichung stückweise um:$$\pink{(1+i)^{21}}=(1+i)^{20}\cdot(1+i)=\left((1+i)^2\right)^{10}\cdot(1+i)=(1^2+2i+i^2)^{10}\cdot(1+i)$$$$\phantom{(1+i)^{21}}=(2i)^{10}\cdot(1+i)=2^{10}\cdot i^{10}\cdot(1+i)=2^{10}\cdot(i^2)^5\cdot(1+i)$$$$\phantom{(1+i)^{21}}=2^{10}\cdot(-1)^5\cdot(1+i)=\pink{-2^{10}\cdot(1+i)}$$$$\green{e^{i\frac43\pi}}=e^{i\pi}\cdot e^{i\,\frac\pi3}=(-1)\left(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\right)=-\left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)=\green{-\frac{1+i\sqrt3}{2}}$$

Damit lautet die Gleichung:$$\frac{\pink{(1+i)^{21}}}{2^{10}}\cdot z+\green{e^{i\frac43\pi}}=i\quad\big|\text{Terme von oben einsetzen}$$$$\frac{\pink{-2^{10}\cdot(1+i)}}{2^{10}}\cdot z-\green{\frac{1+i\sqrt3}{2}}=i\quad\big|\cdot(1-i)$$$$-(1+i)(1-i)\cdot z-\frac{(1+i\sqrt3)(1-i)}{2}=i\cdot(1-i)\quad\big|\text{Produkte ausrechnen}$$$$-2z-\frac{(1+\sqrt3)-i(\sqrt3-1)}{2}=i+1\quad\big|\div(-2)$$$$z+\frac{(1+\sqrt3)+i(\sqrt3-1)}{4}=-\frac i2-\frac12\quad\bigg|\text{Nach \(z\) umstellen}$$$$z=\left(-\frac12-\frac{1+\sqrt3}{4}\right)+i\left(-\frac12-\frac{\sqrt3-1}{4}\right)$$$$z=-\frac{\sqrt3+3}{4}-i\,\frac{\sqrt3+1}{4}$$

Answer 2

Hallo

alles ausser der 2^10 in Exponentialform schreiben , dann nach z auflösen

aber da du weisst, dass du nach z auflösen musst, warum tust du es nicht

Gruß lul

Comments

Wie würde man denn (1+i)^21 umformen ?

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hallo

1. kann man mal die ersten Potenzen ausrechnen etwa (1+i)^2=2i oder 1+i=√2e^iπ/4

am einfachsten man zeichnet so was in die Gaussche Ebene

lul