Gibt es einen Wert für a, ab dem e^(an) schneller wächst als n!?

Question

Aufgabe:

Ich soll in der folgenden Aufgabe bestimmen, ob die reelle Zahlenfolge konvergent oder
divergent ist.

\( \left(d_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( d_{n}=\frac{e^{5 n}+2^{n}}{n !+2 n^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe gesagt, dass man \( 2^{n} \) im Zähler und \( 2n^{2} \) im Nenner vernachlässigen kann, da die anderen jeweiligen Glieder dominieren.

Dann habe ich durch Ausprobieren gemerkt, dass \( e^{5n} \) schneller Richtung +unendlich wächst als n!
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich das begründen kann. Gibt es einen Wert für a, ab dem \( e^{an} \) schneller wächst als n!? Ich habe dazu nichts gefunden und hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann.

War mein Vorgehen bis jetzt ok so und würdet ihr etwas anders machen?

Grüße teipiii

Answer 1

Dann habe ich durch Ausprobieren gemerkt, dass \( e^{5n} \) schneller Richtung +unendlich wächst als n!

Ausprobieren ist ein ganz schlechter Ratgeber.

Frag mal Wolframalpha.

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{e^{5 n}}{n !}=0 \)

Und jetzt versuche mal zu begründen, warum n! schneller wächst.

Comments

Ja klar, dass Ausprobieren nicht die Lösung ist, ist ja klar, ich wusste nur nicht wo ich weitermachen soll.
Vielleicht ist eine Begründung, dass wenn n gegen unendlich geht, sich n! mit sehr großen Werten multipliziert, wohin gegen bei \( e^{5n} \), zwar mehr Zahlen miteinander multipliziert werden, diese aber nur etwa 2,71 betragen.

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e^(5n) = (e^5)^n < 149^n

Bei n! sind zwar 148 Faktoren kleiner als 149 aber unendlich viele Faktoren größer als 149.

Wenn n also gegen unendlich geht dann ist n! viel größer als jede Exponentialfunktion.

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War meine Begründung dann mehr oder weniger richtig?
Wie bist du auf die spezifischen Werte gekommen? Ich komm mit WolframAlpha und Grenzwerten irgendwie nicht zurecht, blicke da nicht durch?
Wäre also für jede Wert bei a in \( e^{an} \) n! größer?

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War meine Begründung dann mehr oder weniger richtig?

Eher weniger als mehr. Du solltest die Ausdrücke auf die gleiche Anzahl von Faktoren bringen daher habe ich die e-Funktion einfach als 149^n geschrieben, wo wir n Faktoren vom Wert 149 haben.

Und ja n! ist größer als e^(an), wenn n gegen unendlich geht.

Answer 2

Eine Majorante ist \(\frac{2e^{5 n}}{n !} \). Weise mit dem Quotientenkriterium nach, dass sie konvergiert.

Comments

Ist das nicht für Reihen? Sind Reihen und Folgen dasselbe? Keine Ahnung, wir haben dieses Kriterium auf jeden Fall (noch) nicht gelernt