Bestimmen Sie Basen der folgenden Vektorräume

Question

(a)Bestimmen Sie Basen der folgenden Vektorräume:
 (i)V:=span((1,1,1),(-1,0,2),(0,1,3))⊂ℝ³
 (ii)U:={f∈ℝ[x]_≤3 I f(0)=0}
 (iii)W:={f∈ℝ[x]≤3 I f-0,5xf´=0}
(b) Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen f1, f2, f3 ∈ R
R linear unabhängig sind:
f1(x) = x, f2(x) = sin(x), f3(x) = cos(x).

Answer 1

(i)V:=span((1,1,1),(-1,0,2),(0,1,3))⊂ℝ3

Basis ist z.B. (-1,0,2),(0,1,3), weil der erste sich als

-(-1,0,2)+(0,1,3) darstellen lässt, aber die hinteren

beiden lin. unabh. sind.

U:={f∈ℝ[x]≤3 I f(0)=0} Die Elemente von U

sehen alle so aus

f(x) =  ax^3 + x^2 + cx ,

also bilden die Polynome x^3, x^2 , x eine Basis.

(iii) Wenn f ∈ℝ[x]≤3 ist, dann sieht es wohl so aus:

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

und f-0,5xf´=0 heißt ja f=0,5x*f'

Dann hätte man

ax^3 + bx^2 + cx + d=1,5ax^3 + bx^2 + 0,5cx  

Also  -0,5ax^3 + 0,5cx + d= 0-Polynom

Also a=c=d=0 und damit bleibt nur f(x)=bx^2

also wäre etwa x^2 eine Basis.

b) Sei für alle x∈ℝ      ax+b*sin(x)+c*cos(x)=0

also insbesondere  für x=0  :  a*0+b*0+c*1=0

                            ==>  c=0.

und für x=pi/2     a*pi/2 + b*1 + c*0 = 0

           ==>  b =  -a*pi/2 #

und für x=1  a + b*sin(1)=0  . mit # also

                  a-a*pi/2 * sin(1) = 0

                     a*( 1 - pi/2 * sin(1) ) = 0

Weil die Klammer nicht 0 ist, also a=0  und wegen

# dann auch b=0.

Also folgt aus ax+b*sin(x)+c*cos(x)=0-Funktion,

dass a=b=c=0 gilt, also die drei lin. unabh. sind.

Comments

Ich lese die Bdingung bei (iii) so

$$f(x)-0.5xf'(x)=0$$

Diese wird aber von f(x)=x nicht erfüllt?

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Ah ja, da hatte ich wohl was übersehen.

Ich korrigiere das.