Berechnen Sie das Volumen von K.

Question

Aufgabe:

Die Grundflaeche eines Koerpers K ist ein Trapez durch die Punkte (0, 0, 0), (10, 0, 0),
(10, 5, 0), (0, 10, 0) . Jede Ebene, die K trifft und parallel zur y, z-Ebene ist, schneidet aus
K einen Halbkreis heraus. Berechnen Sie das Volumen von K.

Problem/Ansatz:

Hier wüsste ich nicht mal wo ich anfangen sollte. Ich kanns mir nicht wirklich vorstellen, was meint die Angabe mit "schneidet ein Halbkreis heraus"?

Also man hat den Trapezkörper der um die x-Achse revolviert, da würde sich dann eine 3-D Vulkan-artige Form daraus ergeben. Jetzt sollte man mit einem bestimmten Integral von 0 bis 10 das Volumen herausfinden. Nehme ich hier die Volumen-formel von einem Halbkreis her (1/2*pi*r^2), wo ich dann die Fläche vom Trapez (ausgerechnet: 50) in r einsetze, und daraus das bestimmte Integral errechne?

Answer 1

Hallo

ich hab dir Umrisse des Körpers gemalt. offensichtlich ein Halber Kegelstumpf, ob du den mit Integral oder direkt ausrechnen darfst weiss ich nicht, sonst nimm den Kegel mit x Achse als Achse und parametrisier den Kegel mit Zylinderkoordinaten um x.

Gruß lul

der letzte Kreis ist falsch geraten, aber man kann sehen wie es gemeint ist

Answer 2

Hier ist eine 3D-Grafik - einfach den Schieberegler für h bewegen. (Die Farbwahl hab ich Desmos überlassen :-D )

Nun gilt per Cavalieri:

\(V = \int_0^{10} A(h)\, dh\)

Dabei ist \(A(h)\) die Fläche des Halbkreises zur Höhe \(h\) mit dem Radius \(r(h)\):

\(A(h) = \frac{\pi}2 r^2(h)\)

Der Radius \(r(h)\) fällt linear von \(r(0) = 5\) auf \(r(10) = 2.5\):

\(r(h) = 5-\frac h4\)

Jetzt nur noch alles einsetzen:
\(V =\frac{\pi}2 \int_0^{10} (5-\frac h4)^2\, dh \approx 229.07\)

Hier ist die Berechnung.

Comments

Da stimmt aber irgendwas nicht, ich bekam jetzt nach etlichen Versuche 1832.60 raus, und mir scheints zu stimmen.

Bei deiner Grafik lautet ja der Anfangs y Wert 0,40, und es sieht aus als ob die Steigung leicht kurvt. Es sollte (0,10,0) sein, und die Gerade von dem Punkt bis (10,5,0) ist linear.

Ich habs in Wolfram versucht mit:

"revolve region between y=-1/2x+10 and y=0, 0<=x<=10, about the x-axis"

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@serve2712
Ich schau nochmal auf die Grafik.

Der Körper wird nicht um die x-Achse rotiert (das steht auch nirgends).

Lies nochmal die Beschreibung des Körpers. Vergleiche auch die angegebenen Punkte für das Trapez mit den gezeichneten Punkte.

Beachte: Die Figur ist aus Halbkreisen zusammengesetzt. Die Mittelpunkte dieser Halbkreise liegen auf der von mir eingezeichneten Strecke.

Du kannst schnell Ober- und Unterschranken für das Volumen finden, indem du die Volumina der Halbzylinder für den kleinsten und den größten Halbkreis berechnest.
Dein Ergebnis liegt weit über der Oberschranke.

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Achja:
Zeige mir bitte mal, wo du "0,40 als Anfangs-y-Wert" in der Grafik siehst.
Bitte mit Screenshot.

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Ah, ich sehe was du meinst. Und jetzt verstehe ich die Angabe auch :D. Die 0,40hab ich aus deinem Wolframalpha link unter "Visual representation of the integral", da schien der y-Wert (0,40) zu lauten.

Tut mir Leid, ich war fixiert auf "um die x-Achse revolvieren", also hab ich deine Grafik nicht so richtig wahrgenommen. In meiner Vorlesung besprachen wir nur Körper die um irgendeiner Achse revolvierten.

Übrigens, ist das Desmos premium oder kann man das einfach so eingeben im normalen Grafikrechner? Das war immens hilfreich um mir eine räumliche Vorstellung zu geben.

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Momentan ist Desmos 3D frei (ist wohl noch in Beta-Phase).

Es gibt auch einen kleinen User Guide für die 3D-Version.

Da du die Grafik öffnen und bewegen konntest, funktioniert also auch das Link-Sharing.