Grundlagen zum Funktionsbegriff

Question

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Aufgabe \( 1 \quad(5+5+5+5 \mathrm{P} \).
Gegeben seien die Menge \( X=\{-5,-4, \ldots,-1,1, \ldots, 4,5\} \) und eine Funktion \( f(x)=\frac{2}{x^{2}} \).
a) Geben Sie die (vollständige) Bildmenge der Funktion an.
b) Stellen Sie \( f(x) \) in einem Pfeildiagramm dar.
c) Geben Sie eine Zielmenge von \( f(x) \) an. Gibt es mehrere Möglichkeiten?
d) Ist \( f(x) \) eine umkehrbare Funktion? Begründen Sie.

Aufgabe \( 2 \quad(5+5+4+6 \) P. \( ) \)
Gegeben sei die Funktion \( f:\{x \in \mathbb{Z} \mid x \) ist eine gerade Zahl \( \} \rightarrow \mathbb{Q} \) mit \( f(x)=\frac{x}{2} \).
a) Erstellen Sie für \( f(x) \) die Wertetabelle für \( -10 \leq x \leq 10 \).
b) Zeichnen Sie den Graphen von \( f(x) \) für \( -10 \leq x \leq 10 \).
c) Können Sie eine kleinere Zielmenge von \( f(x) \) angeben?
d) Wie ändert sich die Bildmenge, wenn die Definitionsmenge (ganz) \( \mathbb{Z} \) ist? Muss die Zielmenge dann angepasst werden? Begründen Sie.

Aufgabe \( 3 \quad(5+5+5+5 \) P. \( ) \)
Gegeben sei eine lineare Funktion \( f: \mathbb{N}_{0} \rightarrow \mathbb{Q} \) mit Steigung \( \frac{3}{4} \) und der Wertemenge \( W=\left\{-2,-\frac{5}{4},-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 1, \ldots\right\} \) sowie die Menge \( B=\{1,4,7,10,13, \ldots\} \subset W \).
a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von \( f(x) \).
b) Geben Sie das Urbild von \( B \) an.
c) Wie muss die Definitionsmenge abgeändert werden, damit \( f(x)=B \) ?
d) Können Sie bei geänderter Definitionsmenge auch eine kleinere Zielmenge angeben? Begründen Sie.

Aufgabe:

Answer 1

Mal als Anfang eine kleine Hilfe:

Aufgabe 1: Offenbar soll die Funktion mit dem Definitionsbereich X

betrachtet werden.

Dann bedenke, dass die Bildmenge die Menge aller möglichen Funktionswerte

ist, die bekommst du durch f(-5) , f(-4) , .... f(5).

Wenn du das ausrechnest ist das

\( f(-5)=\frac{2}{25} \) , \( f(-4)=\frac{1}{8} \) , \( f(-3)=\frac{2}{9} \) etc.

Schreibe die Ergebnisse alle in eine Menge (wenn was doppelt

vorkommt nat. nur einmal)  und du hast die Bildmenge.

Comments

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1a)
\( \begin{array}{l} f(-5)=\frac{2}{(-5)^{2}}=\frac{2}{25} \quad f(-3)=\frac{2}{(-3)^{2}}=\frac{2}{5} \quad f(-1)=\frac{2}{(-1)^{2}}=2 \\ f(-4)=\frac{2}{(-3)^{2}}=\frac{1}{8} \quad f(-2)=\frac{(-2)^{2}}{}=\frac{1}{2} \\ f(1)=\frac{2}{1^{2}}=2 \quad f(2)=\frac{2}{2^{2}}=\frac{1}{2} \quad P(3)=\frac{2}{3}=\frac{2}{9} \cdot f(4)=\frac{7}{4}=\frac{1}{8} \\ f(5)=\frac{2}{5}=\frac{2}{5} \\ \end{array} \)
1b)

habe das bis b) so gemacht passt das ? Wie mache ich c) und d) kannst du mir wieder ein Ansatz geben?

---

\( f(-5)=\frac{2}{(-5)^{2}}=\frac{2}{25} \) ✓

\(  f(-3)=\frac{2}{(-3)^{2}}=\frac{2}{5} \) Fehler !  2/9

\( f(-1)=\frac{2}{(-1)^{2}}=2 \) ✓

Rest stimmt wohl.

b)  ✓

c) Zielmenge muss irgend eine Menge sein,

die alle in a) ausgerechneten Werte enthält.

Also z.B auch die ganze Menge ℚ.

d) f ist nicht umkehrbar, weil es verschiedene x-Werte

( etwa 1 und -1) gibt, die den gleichen Funktionswert

( hier 2) haben.