Grundlagen zum Funktionsbegriff

Question

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Aufgabe $1 \quad(5+5+5+5 \mathrm{P}$.
Gegeben seien die Menge $X=\{-5,-4, \ldots,-1,1, \ldots, 4,5\}$ und eine Funktion $f(x)=\frac{2}{x^{2}}$.
a) Geben Sie die (vollständige) Bildmenge der Funktion an.
b) Stellen Sie $f(x)$ in einem Pfeildiagramm dar.
c) Geben Sie eine Zielmenge von $f(x)$ an. Gibt es mehrere Möglichkeiten?
d) Ist $f(x)$ eine umkehrbare Funktion? Begründen Sie.

Aufgabe $2 \quad(5+5+4+6$ P. $)$
Gegeben sei die Funktion $f:\{x \in \mathbb{Z} \mid x$ ist eine gerade Zahl $\} \rightarrow \mathbb{Q}$ mit $f(x)=\frac{x}{2}$.
a) Erstellen Sie für $f(x)$ die Wertetabelle für $-10 \leq x \leq 10$.
b) Zeichnen Sie den Graphen von $f(x)$ für $-10 \leq x \leq 10$.
c) Können Sie eine kleinere Zielmenge von $f(x)$ angeben?
d) Wie ändert sich die Bildmenge, wenn die Definitionsmenge (ganz) $\mathbb{Z}$ ist? Muss die Zielmenge dann angepasst werden? Begründen Sie.

Aufgabe $3 \quad(5+5+5+5$ P. $)$
Gegeben sei eine lineare Funktion $f: \mathbb{N}_{0} \rightarrow \mathbb{Q}$ mit Steigung $\frac{3}{4}$ und der Wertemenge $W=\left\{-2,-\frac{5}{4},-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 1, \ldots\right\}$ sowie die Menge $B=\{1,4,7,10,13, \ldots\} \subset W$.
a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von $f(x)$.
b) Geben Sie das Urbild von $B$ an.
c) Wie muss die Definitionsmenge abgeändert werden, damit $f(x)=B$ ?
d) Können Sie bei geänderter Definitionsmenge auch eine kleinere Zielmenge angeben? Begründen Sie.

Aufgabe:

Answer 1

Mal als Anfang eine kleine Hilfe:

Aufgabe 1: Offenbar soll die Funktion mit dem Definitionsbereich X

betrachtet werden.

Dann bedenke, dass die Bildmenge die Menge aller möglichen Funktionswerte

ist, die bekommst du durch f(-5) , f(-4) , .... f(5).

Wenn du das ausrechnest ist das

$f(-5)=\frac{2}{25}$ , $f(-4)=\frac{1}{8}$ , $f(-3)=\frac{2}{9}$ etc.

Schreibe die Ergebnisse alle in eine Menge (wenn was doppelt

vorkommt nat. nur einmal)  und du hast die Bildmenge.

Comments

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1a)
$\begin{array}{l} f(-5)=\frac{2}{(-5)^{2}}=\frac{2}{25} \quad f(-3)=\frac{2}{(-3)^{2}}=\frac{2}{5} \quad f(-1)=\frac{2}{(-1)^{2}}=2 \\ f(-4)=\frac{2}{(-3)^{2}}=\frac{1}{8} \quad f(-2)=\frac{(-2)^{2}}{}=\frac{1}{2} \\ f(1)=\frac{2}{1^{2}}=2 \quad f(2)=\frac{2}{2^{2}}=\frac{1}{2} \quad P(3)=\frac{2}{3}=\frac{2}{9} \cdot f(4)=\frac{7}{4}=\frac{1}{8} \\ f(5)=\frac{2}{5}=\frac{2}{5} \\ \end{array}$
1b)

habe das bis b) so gemacht passt das ? Wie mache ich c) und d) kannst du mir wieder ein Ansatz geben?

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$f(-5)=\frac{2}{(-5)^{2}}=\frac{2}{25}$ ✓

$f(-3)=\frac{2}{(-3)^{2}}=\frac{2}{5}$ Fehler !  2/9

$f(-1)=\frac{2}{(-1)^{2}}=2$ ✓

Rest stimmt wohl.

b)  ✓

c) Zielmenge muss irgend eine Menge sein,

die alle in a) ausgerechneten Werte enthält.

Also z.B auch die ganze Menge ℚ.

d) f ist nicht umkehrbar, weil es verschiedene x-Werte

( etwa 1 und -1) gibt, die den gleichen Funktionswert

( hier 2) haben.