Rekursive Verfahren? Vollständige induktion? Explizit Darstellung?

Question

Aufgabe:

Explizite Ausdrücke zur Berechnung der Funktionswerte sind gesucht..…

Problem/Ansatz:

Wir haben eine Bündel Aufgaben erhalten. Und bei einer weiß ich nicht so genau weiter..

Folgende Rekursive Zahlenfolgen ist gegen.

a) F(1) = 1/(1*3)

  F(n+1) = F(n) + 1/((2n+1)*(2n+3))

b) G(1) = 1/(1*4)

G(n+1) = G(n) + 1/((3n+1)*(3n+4))

c) H(1) = 1/(1*5)

H(n+1) = Hn + 1/((4n+1)*(4n+5))

Hier zu sollen explizite Ausdrücke zur Berechnung der Funktionswerte gesucht werden. Wertetafeln helfen.
Eine Verallgemeinerung der Ergebnisse ist möglich.

Ich hoffe hier findet sich, jemand, der mir helfen kann.

Answer 1

Natürlich kann man versuchen, durch Probieren eine Regel herauszufinden.

Mit Blick auf die Aufgabe besteht aber auch gute Hoffnung, alles auf einmal mit etwas Termumformungsgeschick allgemein zu lösen.

Wir schauen auf die gegebenen Rekursionen und sehen:
$$a_1^{(k)} = \frac 1{1\cdot k}$$

$$a_{n+1}^{(k)} = a_{n}^{(k)} + \frac 1{((k-1)n+1)\cdot ((k-1)n + k)}$$

Bei der Auflösung von Rekursionen spielen oft Teleskopsummen eine Rolle. Also halten wir Ausschau danach. Zum Beispiel gilt allgemein:

\(a_{n}^{(k)} = a_1^{(k)} + \sum_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}^{(k)} - a_i^{(k)}) \quad (1)\)

Nun ergibt sich aber aus der Rekursion

$$a_{i+1}^{(k)} - a_i^{(k)} = \frac 1{((k-1)i+1)\cdot ((k-1)i + k)}$$$$= \frac 1{k-1}\cdot\frac{(k-1)i + k - ((k-1)i+1)}{((k-1)i+1)\cdot ((k-1)i + k)}$$$$=\frac 1{k-1}\cdot\left(\frac 1{(k-1)i+1} - \frac 1{(k-1)i + k}\right)$$$$=\frac 1{k-1}\cdot\left(\frac 1{ki-(i-1)} - \frac 1{k(i+1) -i}\right)$$

Jetzt ist alles schick und teleskopartig und (1) wird zu

$$a_{n}^{(k)} = \frac 1k + \frac 1{k-1}\sum_{i=1}^{n-1}\left(\frac 1{ki-(i-1)} - \frac 1{k(i+1) -i}\right)$$$$= \frac 1k + \frac 1{k-1}\left(\frac 1{k\cdot 1-(1-1)} - \frac 1{k((n-1)+1) -(n-1)}\right) = \ldots$$

Das darfst du jetzt selber noch etwas zusammenfassen und vereinfachen und du erhältst:

$$\ldots =\boxed{\frac n{(k-1)n+1}} $$

Comments

Und jemand, der nicht einmal auf die Idee kommt, die ersten Folgenglieder zu berechnen und nach einem Muster zu suchen, soll Teleskopsummen konstruieren können? Das halte ich für gewagt.

Dennoch eine Alternative.

Answer 2

Schreibe dir die ersten Zahlen mal auf und schaue, ob du schon ein Muster erkennst. Das ist immer der erste Schritt bei solchen Aufgaben.

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Ich habe mir die ersten paar Glieder der Folgen aufgeschrieben. Bei \(F\) tauchten im Zähler die natürlichen Zahlen \((1,2,3\ldots)\) auf und im Nenner die ungeraden natürlichen Zahlen \((3,5,7\ldots)\). Damit war \(F\) klar. Als \(F\) gefunden war, waren auch die Bildungsgesetze der anderen Folgen sofort klar:

$$F(n)=\frac{n}{2n+1}\quad;\quad G(n)=\frac{n}{3n+1}\quad;\quad H(n)=\frac{n}{4n+1}$$

Zum Zeigen der Gültigkeit der Bildungsgesetze, zeigst du, dass das erste Folgendglied passt, etwa \(F(1)=\frac13\), und bildest dann einfach die Differenz zweier benachbarter Elmente:$$F(n+1)-F(n)=\frac{(n+1)}{2(n+1)+1}-\frac{n}{2n+1}=\frac{n+1}{2n+3}-\frac{n}{2n+1}$$$$\phantom{F(n+1)-F(n)}=\frac{(n+1)(2n+1)-n(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)}=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$$

Die Beweise für die beiden anderen Folgen \(G(n)\) und \(H(n)\) kriegst du nun alleine hin ;)

Answer 4

a)

F(1) = 1/3
F(2) = 1/3 + 1/15 = 2/5
F(3) = 2/5 + 1/35 = 3/7
F(4) = 3/7 + 1/63 = 4/9

Spätestens jetzt sollte einem ein Licht aufgehen.

Also schreibe deine Vermutung auf und weise sie mit vollständiger Induktion nach.

Vermutung

F(n) = n/(2·n + 1)

Nachweis

F(1) = 1/(2·1 + 1) = 3

F(n + 1) - F(n) = (n + 1)/(2·(n + 1) + 1) - n/(2·n + 1) = 1/((2·n + 1)·(2·n + 3))