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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir zeigen zuerst, dass für die Summe der ersten \(n\) natürlichen Zahlen gilt:$${\color{blue}\sum\limits_{k=1}^nk=\frac{n^2+n}{2}}\quad\text{für }n\in\mathbb N$$
Diese Formel ("Der kleine Gauß") ist mathematisches Allgemeinwissen. Wenn ihr die bereits kennt, braucht ihr die nicht noch extra zu beweisen. Der Vollstädnigkeit halber tue ich das aber trotzdem.
Induktionsverankerung bei \(n=1\)$$\sum\limits_{k=1}^1k=1\quad;\quad\frac{1^2+1}{2}=1\quad\checkmark$$
Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):$$\sum\limits_{k=1}^{n\green{+1}}k={\color{blue}\sum\limits_{k=1}^nk}+\green{(n+1)}\stackrel{\text{Ind.Vor.}}{=}{\color{blue}\frac{n^2+n}{2}}+\green{\frac{2n+2}{2}}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n\green{+1}}k}=\frac{({\color{blue}n^2}+\green{2n+1})+({\color{blue}n}\green{+1})}{2}=\frac{(n\green{+1})^2+(n\green{+1})}{2}\quad\checkmark$$
Damit können wir die zu zeigende Behauptung umschreiben:$$\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k+1}k^2\stackrel{?}{=}(-1)^{n+1}\,{\color{blue}\frac{n^2+n}{2}}\stackrel{\checkmark}{=}(-1)^{n+1}{\color{blue}\sum\limits_{k=1}^nk}$$
Die Gültigkeit des zweiten Gleichheitszeichens haben wir oben bereits gezeigt. Bleibt uns nur noch die Gültigkeit des ersten Gleichheitszeichens zu zeigen:$$\pink{\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k+1}k^2=(-1)^{n+1}\frac{n^2+n}{2}}\quad\text{für }n\in\mathbb N$$
Induktionsverankerung bei \(n=1\):$$\pink{\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k+1}k^2}=\sum\limits_{k=1}^1(-1)^{k+1}k^2=(-1)^2\cdot1^2=\pink{(-1)^{1+1}\cdot\frac{1^2+1}{2}}\quad\checkmark$$
Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):
$$\sum\limits_{k=1}^{n\green{+1}}(-1)^{k+1}k^2=\pink{\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}k^2}+\green{(-1)^{(n+1)+1}(n+1)^2}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n\green{+1}}(-1)^{k+1}k^2}=\pink{(-1)^{n+1}\,\frac{n^2+n}{2}}+\green{(-1)^{n+2}\frac{2(n+1)^2}{2}}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n\green{+1}}(-1)^{k+1}k^2}=\pink{-(-1)^{n+2}\,\frac{n^2+n}{2}}+\green{(-1)^{n+2}\frac{2n^2+4n+2}{2}}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n\green{+1}}(-1)^{k+1}k^2}=(-1)^{n+2}\left(\frac{2n^2+4n+2}{2}-\frac{n^2+n}{2}\right)$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n\green{+1}}(-1)^{k+1}k^2}=(-1)^{n+2}\,\frac{(n^2+2n+1)+(n+1)}{2}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n\green{+1}}(-1)^{k+1}k^2}=(-1)^{(n\green{+1})+1}\,\frac{(n\green{+1})^2+(n\green{+1})}{2}\quad\checkmark$$
