Gram-Schmidt-Orthonormalisierung, um eine Orthonormalbasis des Unterraums zu bestimmen.

Question

Aufgabe:

Orthonormalbasis des Unterraums, der von M1 und M2 aufgespannt wird, bestimmen.

Problem/Ansatz:

Ich komme bei der Aufgabe leider nicht weiter, ich wäre sehr dankbar über eine Erklärung oder sogar eine Vorrechnung, um die Aufgabe besser nachzuvollziehen.

Text erkannt:

Seien
\( \mathbf{M}_{1}=\left[\begin{array}{cc} -1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right] \text { und } \mathbf{M}_{2}=\left[\begin{array}{ll} -1 & 5 \\ -5 & 1 \end{array}\right] . \)

Sei das Skalarprodukt des Vektorraums \( \mathbb{R}^{2 \times 2} \) als \( \langle\mathbf{A}, \mathbf{B}\rangle=\operatorname{Spur}\left(\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{B}\right) \) definiert. Verwenden Sie die Gram-Schmidt-Orthonormalisierung, um eine Orthonormalbasis des Unterraums, der von \( \mathbf{M}_{\mathbf{1}} \) und \( \mathbf{M}_{\mathbf{2}} \) aufgespannt wird, zu bestimmen.

Hinweis: Gram-Schmidt muss auf die Matrizen in der gegebenen Reihenfolge angewendet werden.

Answer 1

Gram-Schmidt

\(c_{n} = e_{n} - \sum\limits_{j=1}^{n - 1}o_{j} \;  \left< o_{j} , e_{n} \right>\\ o_{n} = \frac{c_{n }}{\left< c_{n} , c_{n} \right>}\)

wobei das Skalrprodukt \(\left< A, B \right>\) gegeben ist

o_1:=M1 / sqrt(<M1, M1>)

M_2:= M2 - <o_1,M2> o_1

o_2:=(M_2) / sqrt(<M_2,M_2>)

stures Einsetzen - was Du hast raus?

Comments

o_1 habe ich bereits als [[-1/2, -1/2],[1/2]] ausgerechnet und für o_2 habe ich jetzt [[-1/sqrt(2), 5/sqrt(50)],[-5/sqrt(50),1/sqrt(2)]] rausbekommen. Sind das die Lösungen? o_1 ist auf jeden Fall richtig, aber bei o_2 bin ich unentschlossen

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Weiter oben sehe ich du hast

\(\small o_1 \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}\frac{-1}{2}&\frac{-1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\end{array}\right)\)

was auch OK ist, jetzt Othogonale zu M2

M_2 = M2 - <o_1,M2> o_1

\(\small M_2 \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}-3&3\\-3&3\\\end{array}\right) \)

normieren

sqrt(spur(M_2^T M_2))=sqrt(18+18)=6

hast Dus?

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Jetzt rechne ich weiter mit \(\small M_2 \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}-3&3\\-3&3\\\end{array}\right) \)/6 ? Das heißt ich habe am Ende die Werte [[-3/6,3/6],[-3/6,3/6]] raus? Der Schritt zu M2 ist mir leider noch nicht ganz klar

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Das berechnete Ergebnis war richtig, ich danke dir sehr für die Hilfestellung

Answer 2

Das ist das ganz normale Gram-Schmidt-Verfahren. Die Objekte sind hier Matrizen und das Skalarprodukt ist angegeben. Zu tun ist also nur einzusetzen in die Formel.
Und da der UR zweidimensional ist, ist das auch schnell vorbei: M1 orthonormalisieren (SP beachten!), in das GSV einsetzen um aus M2 eine dazu orthogonale Matrix zu finden und die dann auch normalisieren.

Also, fang an. Die Idee ist, dass Du Dich damit auseinandersetzt. Wenn Du irgendwo nicht weiterkommst, frag gerne nochmal nach.

Comments

Ich habe es jetzt Mal in der Zwischenzeit ausprobiert und bin für die erste Lösung auf [-1/2, -1/2] für die obere Zeile gekommen und für die untere Zeile [1/2, 1/2]. Bei der zweiten Lösung weiß ich jedoch nicht weiter und ich bin mir auch unsicher, ob die erste Lösung richtig ist.

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Wenn das das normierte M1 sein soll: Sehr gut, genau richtig. Und nun weiter. Verwende \(N_1=\frac12 M_1\), dann rechnet es sich leichter (weil keine Brüche in den Matrizen).

Wenn Du noch Gram-Schmidt gemacht hast, ist das kein gutes Einstiegsbeispiel. Wenn Du schonmal GSV mit Vektoren gemacht hast, es geht hier genauso:

\(M_2-(N_1,M_2)M_2\) um Dir mal die Formel vorzulesen, dann normieren, fertig. Wo ist das Problem?

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Ja genau, das wäre die Lösung für M1, bei M2 komme ich jedoch nur auf ganz komische Werte und habe leider auch keinen Ansatz wie ich auf M2 komme

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Du weißt nicht, wie Du auf \(M_2\) kommst, kommst aber bei \(M_2\) auf komische Werte? Was denn nun?

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Die Werte die ich erhalten habe sind falsch und somit auch der Ansatz den ich verfolgt habe. Mein Ansatz war jetzt u1 = v1 = [-1/2, 1/2]. e1 = u1/norm(u1) = [-sqrt(2)/2, sqrt(2)]

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Beachte: unsere Objekte sind Matrizen, keine Vektoren.

Also: \(N_1:=\frac1{\sqrt{(M_1,M_1)}} M_1\), das hatten wir schon. Nun weiter mit den üblichen Formeln, ich hab Dir die nächste ja hingeschrieben.

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Wenn ich deine Formel "\(M_2-(N_1,M_2)M_2\)" richtig angewendet habe. Dann müsste das Ergebnis [[11,5],[-5,13] sein. Ich habe 1/2 mit M2 multipliziert, das Ergebnis wiederum mit M2 multipliziert und das Ergebnis dann wiederum von M2 subtrahiert

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Bei N1,M2 wird es sicherlich das Skalarprodukt gewesen sein und keine stumpfe Multiplikation und somit komme ich auf ein anderes Ergebnis: [[-1/sqrt(2), 5/sqrt(50)],[-5/sqrt(50),1/sqrt(2)]]

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Es ist das ganz normale GSV und \((N_1,M_2)\) ist dabei das Skalarprodukt (was ist der Aufgabe \(\left< N_1,M_2\right>\) geschrieben ist). Du willst anscheinend immer noch was besonderes rechnen, aber es ist wirklich das ganz normale GSV.

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Ich stehe vollkommen auf dem Schlauch, mit Vektoren ging das noch, aber da es als Matrixschreibweise dargestellt ist, bin ich etwas überfordert

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Sorry, hab mich in der Formel vertippt, es muss \(M_2-(N_1,M_2)N_1\) heißen.

Im Algorithmus für das GSV stehen auch bei Dir in der Vorlesung keine Vektoren, sondern vermutlich so was wie $x_j, u_j$ oder sonstwas und deren Skalarprodukte. Und das sind jetzt eben Matrizen und das in der Aufgabe geg. SP.

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Und wie genau berechne ich jetzt das Skalarprodukt der beiden Matrizen? Das ist das was mir gerade am meisten Probleme bereitet

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Hab ich schon mehrmals gesagt: Es steht doch in der Aufgabe. Wo ist das Problem? Weißt Du, was spur heißt?

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Nein, keine Ahnung was damit gemeint ist. Habe diesen Begriff auch nie zuvor gehört

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Grundsätzlich macht es keinen Sinn bei einer Aufgabe loszurechnen, wenn man die Begriffe nicht geklärt hat.

spur einer Matrix ist die Summe der Diagonalelemente. Steht sicherlich in Deinen Vorlesungsunterlagen.

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Okay, danke für die Erklärung. Ich habe in der Zwischenzeit weitergerechnet und bin jetzt auf eine zweite Lösung gekommen: [[-3/6,3/6],[-3/6,3/6]]. Das müsst richtig sein oder?

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Was ist das jetzt für eine Matrix? Und wieso 3/6 und nicht gekürzt?

Wenn das das Endergebnis für \(N_2\) ist, dann stimmt es.

D.h. die ONB besteht aus \(N_1\) und \(N_2\).

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Das wäre mein Ergebnis für die zweite Matrix, die oben im Bild eingefügt werden soll. Ich kann die 3/6 natürlich auch noch zu 1/2 kürzen. Der erste Eintrag von links nach rechts wäre: -3/6, 3/6 für die erste Zeile und für die zweite Zeile von links nach rechts: -3/6, 3/6

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Wie gesagt, stimmt als Endergebnis.

Ich hoffe Du hast es auch selbst ausgerechnet.

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Okay, super, dann habe ich es doch noch einigermaßen verstanden. Werde mir jedoch weitere Aufgaben anschauen, um es noch zu verinnerlichen. Ich danke dir vielmals für die Hilfe.

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Dieselbe Aufgabe kann auch noch mit Polynomen auf Dich zukommen. Dann ist ein SP für Polynome gegeben und die "Vektoren" sind eben Polynome. Geht auch mit allgemeinen Funktionen. Die SPs können dann Integrale sein. Ist für Anwendungen alles relevant.

Wichtig ist aber: Ist jedesmal der normale Gram-Schmidt.

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Alles klar, werde ich im Hinterkopf behalten