Wie bestimme ich hierbei das Betriebsoptimum?

Question

Bei der Herstellung eines Gutes entstehen in Abhängigkeit von der Produktionsmenge Gesamtkosten in Höhe von K(x) = 5*x - [Wurzel]x + 1.

Wie bestimme ich hierbei das Betriebsoptimum? mir fällt es schwer, hierbei die 2. Ableitung gleich null zu setzen.

Danke im Voraus.

Comments

K(x) = 5*x - [Wurzel]x + 1.

Ist die 1 auch unter der Wurzel?

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hey, nein nur das x :)

sorry

Answer 1

Du sollst nicht die zweite Ableitung gleich null setzen (was wolltest du damit bezwecken?), sondern die Kostenfuktion durch x dividieren um die Durchschnittskostenfunktion zu erhalten, und die erste Ableitung jener gleich null setzen.

x = 4

Comments

vielen Dank, meinte auch die erste :)

wie kommen Sie auf x=4? mir fällt es schwer, dies zu einem x aufzulösen

Dankeschön

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\(K(x) = 5x - \sqrt{x} +1 = 5x -x^{1/2} + 1\)

\(K(x)/x = 5 - x^{-1/2} + x^{-1} \)

\(\displaystyle \frac{d}{dx} \; K(x)/x = \frac{1}{2} x^{-3/2} - x^{-2} = 0 \)

\(\displaystyle \frac{1}{2} x^{-3/2} = x^{-2} \)

\(\displaystyle \frac{1}{2} = x^{-2} \cdot x^{3/2} = x^{-1/2} \)

\( 2= x^{1/2} \)

\(4 = x \)

Answer 2

\(K(x) = 5*x - \sqrt{x}=5*x - x^{\frac{1}{2}}\)

\(K´(x) = 5 - \frac{1}{2}*x^{\frac{1}{2}-1}=5 - \frac{1}{2}*x^{-\frac{1}{2}}\)

\(K´´(x) =  (- \frac{1}{2})*(-\frac{1}{2})*x^{-\frac{3}{2}}=  \frac{1}{4}*x^{-\frac{3}{2}}\)

\( \frac{1}{4}*x^{-\frac{3}{2}}=0\)

\( x^{-\frac{3}{2}}=0\) Hier gibt es keine Lösung.

Meinst du nicht: \(K´(x) = 0\) ?

\( 5 - \frac{1}{2}*x^{-\frac{1}{2}}=0\)

\( \frac{1}{2}*x^{-\frac{1}{2}}=5\)

\( 10=x^{-\frac{1}{2}}     |*x^{\frac{1}{2}}\)

\( 10*x^{\frac{1}{2}}=1\)

\( x^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{10}      |^{2}\)

\( x=\frac{1}{100}      \)

Answer 3

Das Betriebsoptimum entspricht dem Minimum der durchschnittlichen Stückkosten.

Berechne S(x)= K(x)/x und setze dessen Ableitung Null.

S(x) = 5- x^(1/2)/x +1/x = 5 - x^(-1/2) - 1/x^2

S'(x) = 0

....

https://www.wolframalpha.com/input?i=+mimimize5+-+x%5E%28-1%2F2%29+-+1%2Fx%5E2