Der Chef des Unternehmens behauptet, das Betriebsoptimum liege bel x=35. Überprüfen Sie diese Behauptung.

Question

Die Gesamtkosten K eines Unternehmens in GE für die Produktion von \( x \) ME werden beschrieben durch \( K(x)=0,2 x^{3}-11 x^{2}+220 x+3675 \) für \( 0 \leq x \leq 50 \)

Der Chef des Unternehmens behauptet, das Betriebsoptimum liege bel \( x=35 \). Überprüfen Sie diese Behauptung.

Answer 1

Da mußte ich im Internet erst einmnal unter " Betriebsoptimum " nachsehen.
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In der Mikroökonomie wird das Betriebsoptimum als das Minimum der
durchschnittlichen totalen Kosten (Stückkosten) bezeichnet.

K(x) = 0.2x³ - 11x² + 220x + 3675 für 0≤x≤50.

Dies wären die Gesamtkosten.

Stückkosten : K ( x ) / x
S ( x ) = ( 0.2x³ - 11x² + 220x + 3675 ) / x

S ( x ) = 0.2x² - 11x + 220 + 3675 / x

Um einen Extremwert zu finden : 1 Ableitung bilden, zu 0 setzen und nach
x umstellen

S ´( x ) = 0.4 * x - 11 - 3675 / x^2
0.4 * x - 11 - 3675 / x^2  = 0  | * x^2
0.4 * x^3 - 11*x^2 - 3675 = 0
Dies ist eine kubische Gleichung dir recht schwer zu lösen ist

Wahrscheinlich sollt ihr über die Antwort x = 35 zu einer Einschätzung kommen.
x = 35 einsetzen

0.4 * 35^3 - 11*35^2 - 3675 = 0
17150 - 13475 - 3675 = 0
Stimmt

Hier noch der Graph

~plot~ 0.2 * x^2 - 11 * x + 220 + 3675/x ; [[ 0 | 50 | 0 | 2000 ]] ~plot~