Gesamtbetrag der Plantage berechnen

Question

Text erkannt:

d) Das Volumen des Sees wird durch die Funktion \( \mathrm{H} \) mit \( H(t)=500+G(t)=500+\frac{240}{\pi} \cos \left(\frac{\pi}{12}(t-6)\right) \) beschrieben ( \( t \) in \( h ; H(t) \) in Tausend \( \mathrm{m}^{3} \) ).
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a) Mit dem Ansatz \( \mathrm{e}(\mathrm{t})=\mathrm{a} \mathrm{t}^{2}+\mathrm{bt}+\mathrm{c} \) und den Bedingungen \( e(35)=80 \) und \( e(10)=e(60)=30 \) erhält man: \( e(t)=-0,08 t^{2}+5,6 t-18 \)
b) \( \int \limits_{3}^{60}\left(-0,08 t^{2}+5,6 t-18\right) d t \approx 3269 \).

Der Gesamtbetrag beträgt etwa \( 3,27 \cdot 10^{3} \mathrm{t} \).

Kapitel III, Zeit zu überprüfen, Seite 90
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a) \( f(x)=c \cdot a^{x} ; f(x) \) Anfang des lahres Aus \( f(0)=6 \) und \( c=6 \) und \( a=\sqrt[3,5]{ } \)
Also \( f(x)=6 \cdot 2 \),

Text erkannt:

c) Für die Zuflussrate \( g \) gilt: \( g(t)=-20 \cdot \sin \cdot\left(\frac{11}{12}(t-6)\right)(t \) in Stunden, \( g(t) \) in Tausend Kubikmetern pro Stunde). Bestimmen Sie die Volumendifferenz des Sees im Tagesverlauf.
d) Die Funktion \( G \) mit \( G(t)=\frac{240}{\pi} \cdot \cos \cdot\left(\frac{\pi}{12}(t-6)\right) \) ist eine Stammfunktion von g. Bestimmen Sie mithilfe von \( \mathrm{G} \) eine Funktion \( \mathrm{H} \), die das Volumen des Sees beschreibt, wenn es um Mitternacht \( 500000 \mathrm{~m}^{3} \) beträgt.
13 Der jährliche Ertrag e(t) (in \( 10^{3} \mathrm{~kg} \) pro Jahr) einer Obstplantage hängt vom Alter \( t \) (in Jahren) der Bäume ab (Fig. 3). Der Graph der Funktion e ist näherungsweise eine Parabel.
a) Bestimmen Sie die Gleichung von e(t).
b) Ermitteln Sie den Gesamtertrag der Plantage, wenn die Bäume nach 60 Jahren gefällt werden.
Fig. 3
II Schlüsselkonzept: Integral
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Lösungen auf Seite 305-306.

Ich verstehe bei Aifgabe

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich verstehe bei Aufgabe 13 nicht, wieso die in den Lösungen "3.27*10^3t" geschrieben haben. Wie kommen die auf 3.27 und was ist das genau für eine rechnung. Ich hatte jz nur 3269 raus...

Answer 1

Scheitelform der Parabel

\(P(60|30)\) liegt auf  \(e(t)=a*(x-35)^2+80\)

\(e(60)=a*(60-35)^2+80=625a+80\)

\(625a+80=30\)→\(625a=-50\)  →\(a=-\frac{2}{25}\)

\(e(t)=-\frac{2}{25}*(x-35)^2+80\)

Untere Grenze:

\(-\frac{2}{25}*(x-35)^2+80=0\)

\((x-35)^2=1000\)

\(x-35=10*\sqrt{10}\)

\(x_1=35+10*\sqrt{10}\)  entfällt

\(x_2=35-10*\sqrt{10}\)

\(E(t)=\int\limits_{35-10*\sqrt{10}}^{60}[-\frac{2}{25}*(x-35)^2+80)]dx\)

\(E(t)=-\frac{2}{25}*\int\limits_{35-10*\sqrt{10}}^{60}[(x-35)^2+80]dx\)

Einschub:

\(\int\limits_{}^{}(x-35)^2dx\)

Substitution:

\(u=x-35\)→ \(x=u+35\)  → \(\frac{dx}{du}=1\)  → \(dx=du\)

\(\int\limits_{}^{}(x-35)^2dx=\int\limits_{}^{}u^2du=\frac{1}{3}u^3+C\)

Re-Substitution:

\(\int\limits_{}^{}(x-35)^2dx=\frac{1}{3}*(x-35)^3+C\)

\(-\frac{25}{2}*E(t)=[\frac{1}{3}*(x-35)^3+80x]_{35-10*\sqrt{10}}^{60}\\=[\frac{1}{3}*(60-35)^3+80*60]-[\frac{1}{3}*(35-10\sqrt{10}-35)^3+80*(35-10\sqrt{10})]\\=[\frac{1}{3}*(25)^3+4800]-[\frac{1}{3}*(-10\sqrt{10})^3+80*(35-10\sqrt{10})]\\=\)

\([\frac{30025}{3}]-[\frac{1}{3}*(-10\sqrt{10})^3+80*(35-10\sqrt{10})]\\=[\frac{30025}{3}]-[ -10270,75  ]\\≈20279,08\)