Das Tangentenproblem: Helfer wollen bei P(4|4) eine Leiter tangential anlegen.

Question

ich habe in einer Woche meine Mathe Klausur. Nun aber müssen wir für die Klausur viel neues lernen in dieser einen Woche. Da wir im Unterricht nicht mehr so viel Zeit dafür haben, müssen wir das uns zuhause selber beibringen. ich bin jetzt gerade bei dem Tangentenproblem. Noch habe ich es nicht genau verstanden. Es wäre sehr hilfreich wenn jemand mir diese Aufgabe vorrechnen und erklären könnte. Vielen Dank  im voraus. :)

Aufgabe:

Ein kleiner Hund hat sich auf den Kletterhügel verirrt und kommt nicht mehr herunter. Helfer wollen bei P(4|4) eine Leiter tangential anlegen.

a) Wie hoch ist der Hügel?

b) Wie lang ist die Leiter?

Ergänzung aus Kommentar: Ach und ich hab diese Funktion gegeben sehe ich gerade: f(x)= 3x-0,5x²

Comments

Hier eine Skizze zum besseren Verständnis.

Answer 1

f(x)= 3x-0,5x^2 ,

f(4) = 12 - 0.5*16 = 4. P(4|4) liegt auf der Parabel.

f ' (x) = 3 - x

f' (4) = 3 - 4 = -1

Leiter hat die Steigung m=-1. Also 45° Gefälle.

Hier kannst du schon sagen, dass die Leiter mindestens s=√(16 + 16) = √32 Meter lang sein sollte.

Nun noch die Höhe der Hügels:

f ' (x) = 0 -----> x= 3 

Da die Parabel nach unten geöffnet ist, befindet sich bei x= 3 das Maximum von

f(3)= 3*3 -0,5*9 = 4.5

Der Hügel ist 4.5 Meter (Einheit geschätzt) hoch.

Answer 2

: f(x)= 3x-0,5x²  Zeichne dir mal den Funktionsgraphen so ungefähr, das ist der Hügel.
Leiter tangential heißt:  Die Steigung der Leiter ist gleich der Steigung
der Parabel (Das ist der Funktionsgraph) im Punkt (4/4).

Dazu muss man die Ableitung der Funktion bilden, das ist f ' (x) = 3 - x
Den x-Wert vom Punkt einsetzen    f ' (4) = -1

Also hat die Leiter die Steigung -1
Dann mach mal eine Geradengleichung mit Steigung -1
Das ist     y =  -1*x  + n
Die Gerade geht durch (4/4) also kannst du das für x und y einsetzen gibt
4 = -4 + n
Also n=8
Dann ist die Geradengleichung (Leiter !)  y=-x + 8
Die Leiter kommt auf den Boden (Das wird wohl die x-Achse sein), wenn y=0
also      0 = -x  + 8
ausrechnen gibt x=8, also bei (8/0) auf den Boden.
Die Länge der Leiter ist dann die Strecke von (8/0) bis (4/4)
Wenn du bei (4/4) senkrecht runterzeichnest (in den Hügel rein)
Bilden diese Linie, die x-Achse und die Leiter ein rechtwinkliges
Dreieck mit   Leiter L als Hypotenuse. also gilt
L^2 = 4^2 + 4^2   (Pythagoras)
L^2 = 32
also Leiterlänge L = wurzel aus 32 ungefähr 5,66
Die Leiter ist also ungefähr 5,66m lang.

Für die Höhe des Hügels brauchst du den Scheitelpunkt der Parabel
Der liegt bei x = 3 und hat den y-Wert  f(3) = 3*3 + 0,5*3^2 = 4,5
Also ist der Hügel an der höchsten Stelle 4,5m hoch

Answer 3

Der Hügel sei die Parabel \(f(x)=ax^2+b\). Der Punkt P\((4|4)\) liegt auf dem Graphen von \(f(x)=ax^2+b\):

1.Weg:

\(4=16a+b\)  → \(b=4-16a\)

\(f(x)= ax^2+4-16a\) 

a) Wie hoch ist der Hügel?

Ich suche das Maximum:

\(f'(x)=2 ax\)

\(2 ax=0\)

\(x=0\)  \(f(0)=4-16a\)

\(f''(x)=2 a\)  → \(2 a<0\) →  \( a<0\)

Der Hügel hat eine Höhe von   \( 4-16a\)   m.

b) Wie lang ist die Leiter?

Tangente an die Parabel:

\(f'(4)=8a \)

\( \frac{y-4}{x-4}=8a \)

Benötigt wird die Stelle, wo die Leiter auf dem Boden steht:

\( \frac{y-4}{x-4}=8a \)  Nun \(y=0\):

\( \frac{-4}{x-4}=8a|:(-4) \)

\( \frac{1}{x-4}=-2a \)

\(2ax=8a-1\)

\(x=\frac{8a-1}{2a}\)     N\((\frac{8a-1}{2a}|0)\)

\(\overline{NB}=(\frac{8a-1}{2a}-4)^2+4^2\) m

Comments

Das ist doch sowas von unnötig. Du hast die Parabel doch bereits so konstruiert (bzw. den Ansatz so gewählt), dass du weißt, dass der Scheitelpunkt auf der y-Achse liegt. Wozu also das zugehörige \(x\) berechnen? Sonst konstruierst du dir doch auch immer alles so, dass du dieses Wissen nutzt und jetzt berechnest du es krampfhaft auf zwei unterschiedlichen Wegen... Davon abgesehen gehört zu der Aufgabe auch eine vorgegebene Funktion, siehe Link oben.

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Davon abgesehen gehört zu der Aufgabe auch eine vorgegebene Funktion, siehe Link oben.

Der war da aber noch nicht, wo ich die Aufgabe beantwortet habe.

jetzt berechnest du es krampfhaft auf zwei unterschiedlichen Wegen...

Da kommen aber andere Ergebnisse heraus. ( Parabelschar)

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Deren Scheitelpunkte dennoch alle auf der y-Achse liegen...

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Ich benötige \(x=0\), um mit \(f''(0)\) das Maximum herauszufinden.

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Du verstehst es nicht... Auch das ist nicht notwendig. Wenn man den Ansatz \(f(x)=ax^2+b\) mit \(a<0\) macht (alles andere wäre sicherlich kein Hügel), ist bereits klar, dass auf der \(y\)-Achse ein Hochpunkt liegt. Man kann auch die Koordinaten direkt angeben: \(H(0|b)\).

Wozu also irgendwelche unnötigen Rechnungen? Außerdem findest du mit \(f''(0)\) nicht das Maximum heraus, sondern weist ggf. nur nach, dass dort eines vorliegt.

Die Rechnung

\(f''(x)=2a  → 2 a<0 →  a<0\)

ist also völlig obsolet, da \(a<0\) bereits angenommen werden kann, da es sonst kein Hügel wäre.

Und ob man jetzt \(a\) durch \(b\) ausdrückt oder andersherum ist letztendlich auch Jacke wie Hose.