0 Daumen
311 Aufrufe

Aufgabe:

Wie berechnet man die Fourier_Transformierte dieser Funktion?20231128_195028.jpg

Text erkannt:

(iii) Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte der Funktion
f3(x)=452x+x2 f_{3}(x)=\frac{4}{5-2 x+x^{2}}


Problem/Ansatz:

Ich kenne die Formel dafür aber das Problem ist, dass man diese Funktion nicht integrieren kann. Muss man hier irgendwie quadratisch ergänzen, und wenn ja wie?

Avatar von

Kann es sein, dass Du den Residuensatz aus der Funktionentheorie verwenden kannst / sollst?

hör zum ersten mal von dem satz. Wie würde es mit dem Satz funktionieren?

.. dass man diese Funktion nicht integrieren kann.

kann man schon! Es ist52x+x2=(x1)2+4=4((x12)2+1)5-2 x+x^{2} = (x-1)^2 + 4 = 4\left(\left(\frac{x-1}{2}\right)^2 + 1\right)Damit kann man f3f_3 schreiben als    f3(x)=1(x12)2+1\implies f_{3}(x) = \frac{1}{\left(\frac{x-1}{2}\right)^2 + 1}und mit der Substitutionu=x12dudx=12    dx=2dxu = \frac{x-1}{2} \quad \frac{\text{d}u}{\text{d}x} = \frac{1}{2} \implies \text{d}x = 2 \text{d}xlässt sich das Integral bestimmen1(x12)2+1dx=21u2+1du=2arctan(u)+C=2arctan(x12)+C\begin{aligned} \int \frac{1}{\left(\frac{x-1}{2}\right)^2 + 1}\text{d}x &= 2\int \frac{1}{u^2+1}\,\text{d}u\\ &= 2\arctan(u) + C \\ &= 2\arctan\left(\frac{x-1}{2}\right) + C \\ \end{aligned}

@ rudstar: Wenn Due "Residuensatz" noch nie gehört hast, ist es zu kompliziert, das zu erklären. Dann nimm einfach das Ergebnis von Integralrechner o.ä.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage