Hebelgesetz: Betrag der Kraft F (siehe Skizze) berechnen

Question

Aufgabe:

Die folgende Aufgabe soll mit dem Hebelgesetz gelöst werden. Sie stammt von einem Aufgabenblatt aus der Mathelounge.

Berechne die Kraft F (siehe Skizze), welche den Würfel in der angegebenen Position im Gleichgewicht hält.

gegeben sind: Masse des Würfels -> m = 48kg; Winkel -> Alpha = 13°; Seite des Würfels -> a = 1,2 m

Problem/Ansatz:

Mit dem bekannten Hebelgesetz F1 ·  r1 = F2 ·  r2 soll diese Aufgabe gelöst werden. Da ich jedoch weder den Hebel selbst erkennen kann, noch mit den Winkeln umzugehen weiß, bräuchte ich Hilfe beim Aufstellen einer geeigneten Formel.

Für diese benötigt man wahrscheinlich die Gewichtskraft FG = 9,81 N : kg.

Answer 1

Hallo Nils,

Die Hebel sind implizit gegeben. Schau Dir folgende Skizze an:

Der Hebel für die Gewichtskraft ist $\frac{a}{2}\sqrt{2} \cos(45°+\alpha)$. Für den Hebel von $F$ gilt das entsprechende. Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Hallo Werner,

vielen Dank für deine Antwort! Aber inwiefern hängt das dann mit der gesuchten Kraft F zusammen. Für das Hebelgesetz werden doch mindestens drei Werte gebraucht, oder?

Auch habe ich noch nicht so genau verstanden, wo sich jetzt der Hebel befindet?

Ich hoffe, die Fragen erscheinen nicht zu doof.

Viele Grüße!

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Aber inwiefern hängt das dann mit der gesuchten Kraft F zusammen.

Na ja - das Hebelgesetz besagt doch, dass an einem Drehpunkt die Summe aller Produkte von Abstand der Kraft vom Drehpunkt mal Kraft selbst gleich 0 ist, wenn alles im Gleichgewicht sein soll. Also bei zwei Beteiligten:$$r_1\cdot F_1 + r_2 \cdot F_2 = 0$$wobei die Richtung zu berücksichtigen ist, da hier $F$ alias $F_2$ im Uhrzeigersinn dreht wird sie negativ gezählt (mathematischer Drehsinn).

Konkret:$$r_1 \cdot G - r_2\cdot F = 0 \implies r_1 \cdot G =r_2\cdot F$$

Für das Hebelgesetz werden doch mindestens drei Werte gebraucht, oder?

heißt, wenn von vier Werten drei gegeben sind, kann man den vierten Wert daraus berechnen. Das ist hier der Fall. $F$ ist hier gesucht, die anderen drei folgen aus der Aufgabenstellung. $G$ ist das Gewicht und $r_1$ und $r_2$ lassen sich aus der Geometrie bestimmen.

Auch habe ich noch nicht so genau verstanden, wo sich jetzt der Hebel befindet?

Der 'Hebel' ist der Abstand der Kraftlinie vom Drehpunkt. Hebel-Abstand und Kraftwirklinie müssen senkrecht zueinander stehen.
                      Nur dann gilt obige Formel!

Die Gewichtskraft $G$ greift im Mittelpunkt des Würfels an und zeigt nach unten. Und der Abstand zum Drehpunkt ist das, was ich oben engezeichnet habe:$$r_1= \frac{a}{2}\sqrt{2} \cos(45° + \alpha)$$ ist Dir klar, wie dieser Ausdruck zustande kommt?

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Vielen Dank, r1 konnte ich jetzt sehr gut nachvollziehen– hoffe ich –, und habe gerundet 45 cm herausbekommen. Aber wie man auf den zweiten Hebelarm kommen soll, ist mir weiterhin ein Rätsel?

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und habe gerundet 45 cm herausbekommen

das ist richtig.

Aber wie man auf den zweiten Hebelarm kommen soll, ist mir weiterhin ein Rätsel?

Im Prinzip genau wie bei $r_1$ auch. Bestimme den Abstand der Kraftlinie (hier verläuft sie genau horizontal)  zum Drehpunkt.

In obiger Skizze ist $r_2 = |DF|$ ($D$ wie Drehpunkt). $|DF|$ folgt aus dem rechtwinkligen Dreieck $\triangle BDF$. Die Diagonale $=a\sqrt{2}$ ist bekannt und der gelbe Winkel am Drehpunkt ist $(45°-\alpha)$.

Jetzt versuche es mal selber - ansonsten steht es hier ....

$$r_2 = a\sqrt{2} \cos(45°-\alpha) \approx 1,44\,\text{m} \\ \begin{aligned}F &= \frac{r_1 \cdot G}{r_2} = \frac{\frac{a}{2}\sqrt{2} \cos(45°+13°)\cdot 48 \cdot 9,81}{a\sqrt{2}\cos(45°-13°)} \,\text{N}\\ &= \frac{\cos(58°)}{2\cos(32°)} \cdot 48 \cdot 9,81\,\text{N} \\ &\approx \,0,3124 \cdot 48\cdot 9,81\,\text{N}\approx 147 \text{N}\end{aligned}$$