Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}, x^{4}, x^{5} in der vierten Potenz

Question

Aufgabe:

Es sei
\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} \)
eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen \( x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}, x^{4}, x^{5} \) in der vierten Potenz
\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n}=\left(\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\right)^{4} \)

Problem/Ansatz:

Hallo, ich verstehe nicht so recht, wie man mit den verschiedenen Potenzen von x in der Formel umgehen soll. Mein Ansatz wäre gewesen, jeweils für x^0, x^1 usw, die Klammer auszumultiplizieren und sich dann jeweils das a'n anzusehen. Aber dann wären die Koeffizienten doch jeweils immer genau gleich und es würde sich nur in der Potenz von x unterscheiden. Wäre lieb wenn mir jemand zeigen könnte wie die vorgehensweise für beispielsweise x^0 und x^1 ist, damit ich das Prinzip verstehen kann.

Comments

Benutze zweimal das Cauchy-Produkt

Answer 1

Da du nur die Koeffizienten für \( x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}, x^{4}, x^{5} \) brauchst,

reicht das Ausmultiplizieren des Anfangs der Reihe

\( (a_0x^{0}+a_1x^{1}+a_2x^{2}+a_3x^{3}+a_4x^{4}+a_5x^{5}+\dots)^4 \)

Fängt wohl so an:

\( a_0^4 +\begin{pmatrix} 4\\1 \end{pmatrix}a_0^3a_1x^{1}+\begin{pmatrix} 4\\2 \end{pmatrix}a_0^2a_1^2x^{2}+\begin{pmatrix} 4\\1 \end{pmatrix}a_0^3a_2x^{2}+\dots \)

\( =a_0^4 +4a_0^3a_1x^{1}+6a_0^2a_1^2x^{2}+4a_0^3a_2x^{2}+\dots \)

\( =a_0^4 +4a_0^3a_1x_1+(6a_0^2a_1^2+4a_0^3a_2)x^{2}+\dots \)

Comments

Ah, ich habs verstanden. Vielen Dank!

Answer 2

Hallo, schreib einfach mal die ersten Glieder der Summe und potenziere das mit 4.

Gruß lul

Answer 3

Du kannst das ganz bequem ohne Ausmultiplizieren berechnen, wenn du folgenden Zusammenhang nutzt:

\(\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}a_nx^n \Rightarrow a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\)

\(\displaystyle g(x) = \sum_{n=0}c_nx^n \Rightarrow c_n = \frac{g^{(n)}(0)}{n!}\)

Somit haben wir:

\(\displaystyle c_0 = g(0) = \left(f(0)\right)^4 = a_0^4\)

Ab jetzt ist das alles nur noch eine Differentiationsübung:

\(\displaystyle c_1 = g'(0) \)

\(g'(x) = 4 \left(f(x)\right)^3\cdot f'(x)\)

\(\displaystyle c_1  =  4 \left(f(0)\right)^3\cdot f'(0) = 4a_0^3a_1\)

... usw.