Zeigen Sie: zn →z für z→∞.

Question

Aufgabe:

(i) Sei (zn)n eine beschränkte Folge in C mit genau einem Häufungspunkt
z∈C. Zeigen Sie: zn →z für z→∞.
(ii) Belegen Sie ferner durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass die Aussage
aus (i) nicht mehr stimmt, falls die Folge nicht beschränkt ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe verstanden, dass z gegen unendlich strebt und man muss zeigen, dass zn gegen z strebt. Leider habe ich keinen Ansatz zu beiden Teilaufgaben.

Answer 1

ii)  Betrachte z_n= n für n gerade und z_n=1/n für n ungerade.

Hat bei 0 einen Häufungspunkt aber wegen der 1/n liegen

außerhalb jeder Umgebung von 0 unendlich viele Folgenglieder,

0 ist also nicht der Grenzwert.