Ungleichung, Grade von Polynomen

Question

Aufgabe: Sei R ein kommutativer Ring. Wir definieren den Grad deg(p) von 1
p = a₀ + a₁x + · · · + a_nxⁿ in R[x] als die kleinste Zahl n in N ∪ {−∞}, sodass
a_i = 0 für alle i > n gilt. Hierbei gelte −∞ < k für jede natürliche Zahl k.
1. Zeigen Sie, dass für p, q in R[x] die Ungleichung
deg(p + q) ≤ max{deg(p), deg(q)} gilt. Zeigen Sie weiter, dass die Gleichheit nicht immer gilt.
2. Zeigen Sie, dass für p, q in R[x] die Ungleichung
deg(pq) ≤ deg(p) + deg(q) gilt, wobei −∞ + n = −∞ und n + −∞ = −∞

für jedes n in N ∪ {−∞} gelte. Zeigen Sie weiter, dass die Gleichheit nicht immer gilt