Warum ist die Gleichung (ln a)^k = k (ln a) falsch?

Question

Aufgabe: Warum ist die Gleichung (ln a)^k = k (ln a) falsch?

Answer 1

Weil \(\ln(a^k)=k\ln(a) \) gilt für \(a>0\) und \(\ln(a)^k\neq \ln(a^k)\). Achte genau darauf, wo der Exponent steht.

Comments

Danke für die klare Antwort! G.R.

---

Weil \(\ln(a^k)=k\ln(a) \) gilt

Diese Gleichung ist immer noch falsch, denn sie liefert für a=-2 und k=6 links etwas anderes als rechts. Sie gilt nur im Spezialfall, so wie etwa auch die Gleichung (a+b)^2=a^2+b^2.

---

Es gilt natürlich \(a>0\).

---

Nun bin ich verwirrt. Was wäre hier nun die richtige Gleichung und warum?

---

Die Gleichung gilt schon, allerdings nur, wenn \(a>0\) ist. Andernfalls stimmt sie nicht. Ich habe diese Voraussetzung aber stillschweigend angenommen. Habe es in der Antwort ergänzt.

Answer 2

Weil gilt: ln(a^k) = k*ln(a) bzw. k*lna = lna^k

(lna)^k = lna wird k-mal mit sich selbst multipliziert-

(ln2)^3 = ln2*ln2*ln2

ln2^3= 3*ln2

Comments

ln(ak) = k*ln(a) bzw. k*lna = lnak

Jetzt darf sich jeder gerne überlegen, warum man IMMER Klammern um das Argument machen sollte. Letztere Schreibweise führt nämlich genau zu dem Gedankenfehler, der hier passiert.

---

Jaaaaa, natürlich. --- Und dann gibt es immer noch Taschenrechner, die z. B. \( \sin(5)^2 \) als \( \sin(25) \) und nicht als \( (\sin(5))^2 \) berechnen.