Aloha :)
Wir stellen den Boden des Zylinders auf die xy-Ebene. Der Mittelpunkt des Grundkreises liege im Urpsrung des Koordinatensystems. Die z-Koordinate tastet dann die Höhe des Zylinders ab und die x- und y-Koordinaten das Innere und den Rand der Kreisflächen auf der jeweiligen Höhe. Das heißt formal:$$x^2+y^2\le r^2\quad\land\quad 0\le z\le h$$
Die Integrationsgrenzen für \(z\) sind damit klar. Bei den Grenzen Integrationsgrenzen für \(x\) und \(y\) überelgen wir uns, dass wir zuerst \(x\in[-r;r]\) frei wählen können. Haben wir \(x\) gewählt, müssen wir bei der Wahl von \(y\) die Forderung \(y^2\le r^2-x^2\) einhalten, um die Kreisfläche nicht zu verlassen. Wir können daher nur noch \(y\in[-\sqrt{r^2-x^2};\sqrt{r^2-x^2}]\) frei wählen.
Das führt uns auf das folgende Integral für das Volumen des Zylinders:$$V=\int\limits_{z=0}^h\;\;\int\limits_{x=-r}^r\;\;\int\limits_{y=-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}dx\,dy\,dz=\int\limits_{z=0}^hdz\int\limits_{x=-r}^r\left(\;\;\int\limits_{y=-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}dy\right)dx$$
Die Integration nach \(dy\) müssen wir vor der Integration nach \(dx\) durchführen, weil die Variable \(x\) in den Grenzen des \(y\)-Intervalls noch enthalten ist.$$V=[z]_{z=0}^h\cdot\int\limits_{x=-r}^r\left(\left[y\right]_{y=-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}\right)dx=h\int\limits_{x=-r}^r2\sqrt{r^2-x^2}\,dx=2h\int\limits_{x=-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\,dx$$$$\phantom{V}=2h\int\limits_{x=\pink0}^r\left(\sqrt{r^2-x^2}+\pink{\sqrt{r^2-(-x)^2}}\right)\,dx=4h\int\limits_{x=0}\sqrt{r^2-x^2}\,dx=4h\cdot\frac{\pi r^2}{4}$$$$\phantom V=\pi r^2h$$
