Zeigen Sie, dass die Übergangsstellen der Intevalle jeweils die gleiche Steigung haben.

Question

Aufgabe:

Die Zuflussterme für die Zuflussrate f'(x) sind in Abschnitten notiert: f1'(x)=10 im Intervall [0;4], f2'(x)=-5x+30 im Intervall [4;7], f3'(x)=-5 im Intervall [7;10]
Wir sehen die Terme der zugehörigen Bestandsfunktionen f1(x), f2(x) und f3(x). Zeigen Sie, dass die Übergangsstellen der Intevalle jeweils die gleiche Steigung haben.

Problem/Ansatz:

würde gerne das mit den Übergangsstellen verstehen. danke im voraus für die antworten!

Answer 1

Zeigen Sie, dass die Übergangsstellen der Intevalle jeweils die gleiche Steigung haben.

Die Übergangsstellen sind diejenigen, bei denen die Intervalle

aneinanderstoßen, also 4 und 7.

Steigung von f1 bei x=4  ist f1'(4)=10

und von f2 bei x=4 ist es f2'(4)=-5*4+30 also auch 10.

Ebenso bei x=7    f2'(7)= -5*7+30=-5   und f3 ' (7) = -5 ebenso.

Comments

okay vielen dank! aber wie würden die stammfunktionen aussehen? also uns wurde im unterricht gesagt, dass bei der stammfunktionen von f2 das ergebnis von der stammfunktion f1 bei x = 4 hinzusubtrahiert wird. wie genau funktioniert das?

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und wir müssen dann c von der stammfunktion f3 herausfinden und dazufügen

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Wenn man davon ausgeht, dass zu Beginn der Bestand = 0 ist,

dann ist im ersten Intervall ja f1(x)=10x.

Also bei x=4 ein Bestand von 40.

f2(x)= -2,5x^2 + 30x + C

und C ist dann so zu wählen, dass f2(4)=40, also

f1 stetig fortgesetzt wird. Der Bestand wird sich ja nicht

sprunghaft ändern. Also f2(4)=40

               -2,5*4^2 + 30*4 + C = 40  ==>  C=-40

==>  f2(x)= -2,5x^2 + 30x - 40

f3(x) = -5x + C

und auch hier wieder f3(7)=f2(7)

                             -35 + C =  -2,5*49 + 30*7 + 40

                                -35 + C = 127,5

                                          C=162,5

==>  f3(x) = -5x + 162,5