Komplexe Zahl Lösung der Gleichung

Question

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Aufgabe 9 (3 Punkte) Geben Sie alle Lösungen der Gleichung
\( (z+3 \mathrm{i})^{3}=8 \mathrm{i} \)
in der Form \( z=a+b \) i mit \( a, b \in \mathbb{R} \) an.
\( z_{1}=\square, \quad z_{2}=\square-\sqrt{3}-2 \mathrm{i}, \quad z_{3}=\square \)

Aufgabe:

Hallo, kann mir jemand bitte erklären, wie man dies ausrechnet? Was bedeutet z1? Brauche ich nur 1 für z einzusetzen und nach 0 aufzulösen?

LG

Comments

Substituiere \(u=z+3\mathrm i\) und erhalte \(0=u^3-8\mathrm i=(u+2\mathrm i){\cdot}(u^2-2u\mathrm i-4)\).

Answer 1

Ziehe zunächst auf beiden Seiten die dritte Wurzel; z+3i = √3 - i, also z₁= √3 - 2i.

Die zweite Lösung ist zur ersten konjugiert z₂= -√3 - 2i.

Die dritte Lösung ist leicht zu raten: z₃= - 5i, wenn man \( \sqrt[3]{i} \) kennt.

Comments

wenn man \( \sqrt[3]{i} \) kennt ,

dann kennt man drei Zahlen und der Fehler bei der zweiten Lösung wäre dir nicht passiert.

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Danke schonmal! Muss ich die 8i wenn ich die 3. Wurzel ziehe in Polarform umschreiben oder wie kommst du auf sqrt(3)-i?

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Vergiss meine Antwort, sie war fehlerhaft.

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Wegen z = a +bi mit a,b ∈ ℝ wird (z+3i)^3 = (a + (b+3)i)^3 = a^3 + 3a^2·(b+3)i - 3a·(b+3)^2 - (b+3)³i = 8i.

Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert
a^3 - 3a(b+3)^2 = 0  und 3a^2(b+3) - (b+3)^3 = 8

Eine Lösung der ersten Gleichung ist a=0 und das in die zweite Gleichung eingesetzt ergibt (b+3)^3 = -8 und damit b=-5 . z=a+bi = z₃

Wenn man sich an dieser Stelle von der Voraussetzung  b∈ℝ befreit, dann kann man (b+3)^3 = -8 weiter umformen zu b^3 + 9b^2 + 27b + 35 = (b+5)*(b^2+4b+7) = 0 und die Nullstellen des zweiten Faktors sind b_1,2 = -2±i√3 . z = a+bi ist dann z = 0 -2i ±(-√3) = z_2,1

Ich habe jetzt allerdings keine Lust, mich mit der Frage, warum dieses hanebüchene Verfahren funktioniert, zu befassen.