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Für gegebene Längen a, b > 0 seien im kartesischen Koordinatensystem Punkte A0, A1, A2, . . .
wie folgt aufgetragen: Sei A0 = (a, 0) und A1 = (0, b) und sei An+2 der Schnittpunkt der zu
AnAn+1 senkrechten Geraden durch An+1 mit einer der Koordinatenachsen.

Aufgabe:  Gib eine explizite Formel für |AnAn+1| in Abhängigkeit von a und b an.

abc.PNG

ich habe leider keinen Ansatz, benötige also Hilfe

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Ich habe jetzt eine Formel gefunden die glaube ich funktioniert: (12 \frac{1}{2} )n *sqrt(a2 +b2 ) ich weiß jedoch nicht wie man darauf kommt, kann mir wer helfen?

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Beste Antwort

Ich sehe da eine Menge ähnlicher Dreiecke.

Ich nehme folgende Bezeichnungen:
a0=a,a1=b,a2=x2 fu¨A2(x2,0),a3=y3 fu¨A3(0,y3)a_0 = a, \: a_1 = b, \:a_2 = |x_2| \text{ für }A_2(x_2,0),\: a_3 = |y_3| \text{ für }A_3(0,y_3) usw.

Dann haben wir mit ba=a1a0=tanα\frac ba = \frac{a_1}{a_0} =\tan \alpha

a1=g1sinαa_1 = g_1\sin \alpha

a2=g2sinαa_2 = g_2\sin \alpha

a3=g3sinαa_3 = g_3\sin \alpha

... usw., wobei

ba=a1a0=a2a1=a3a2=\frac ba = \frac{a_1}{a_0} = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \ldots

Somit erhalten wir

gn+1gn=an+1an=ba\frac{g_{n+1}}{g_n} = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac ba

Also:
gn=(ba)n1g1=(ba)n1a2+b2g_n = \left(\frac ba\right)^{n-1}g_1 = \left(\frac ba\right)^{n-1}\sqrt{a^2+b^2}

Avatar von 12 k

Danke du hast mir echt geholfen, kannst du evtl. nochmal genauer erklären wie du von b/a =gn+1/gn zum letzten SChritt kommst und woher du auf einmal die Wurzel hinzufügst?

Schreibe doch mal die ersten Terme dieser Rekursion auf. Dann siehst du es.

Und woher die Wurzel kommt, solltest du selbst rausfinden können.

Okay ja klar die Wurzel ist logisch, dumm von mir, aber ich versteh immer noch nicht wie du auf gn=(ba \frac{b}{a} )n-1 kommst?

Es gilt gn+1gn=ba\frac{g_{n+1}}{g_n}= \frac ba. Also gn+1=bagng_{n+1} = \frac ba\cdot g_n.

Daher:

g2=bag1g_2 = \frac ba\cdot g_1

g3=bag2=(ba)2g1g_3 = \frac ba\cdot g_2 = \left(\frac ba\right)^2 g_1

... usw.

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Vielliecht noch ein anderer Blickwinkel

https://www.geogebra.org/calculator?command=a=6;b=5;l1=IterationList…

Rotiere 90° und verkürze um b/a ( a wird zu b)

blob.png  

Avatar von 21 k

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