Unendliche Spirale im kartesischen Koordinatensystem

Question

Für gegebene Längen a, b > 0 seien im kartesischen Koordinatensystem Punkte A0, A1, A2, . . .
wie folgt aufgetragen: Sei A0 = (a, 0) und A1 = (0, b) und sei An+2 der Schnittpunkt der zu
AnAn+1 senkrechten Geraden durch An+1 mit einer der Koordinatenachsen.

Aufgabe:  Gib eine explizite Formel für |AnAn+1| in Abhängigkeit von a und b an.

ich habe leider keinen Ansatz, benötige also Hilfe

Comments

Ich habe jetzt eine Formel gefunden die glaube ich funktioniert: (\( \frac{1}{2} \))ⁿ *sqrt(a² +b² ) ich weiß jedoch nicht wie man darauf kommt, kann mir wer helfen?

Answer 1

Ich sehe da eine Menge ähnlicher Dreiecke.

Ich nehme folgende Bezeichnungen:
\(a_0 = a, \: a_1 = b, \:a_2 = |x_2| \text{ für }A_2(x_2,0),\: a_3 = |y_3| \text{ für }A_3(0,y_3)\) usw.

Dann haben wir mit \(\frac ba = \frac{a_1}{a_0} =\tan \alpha\)

\(a_1 = g_1\sin \alpha\)

\(a_2 = g_2\sin \alpha\)

\(a_3 = g_3\sin \alpha\)

... usw., wobei

\(\frac ba = \frac{a_1}{a_0}  = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \ldots\)

Somit erhalten wir

\(\frac{g_{n+1}}{g_n} = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac ba\)

Also:
\(g_n = \left(\frac ba\right)^{n-1}g_1 = \left(\frac ba\right)^{n-1}\sqrt{a^2+b^2}\)

Comments

Danke du hast mir echt geholfen, kannst du evtl. nochmal genauer erklären wie du von b/a =gn+1/gn zum letzten SChritt kommst und woher du auf einmal die Wurzel hinzufügst?

---

Schreibe doch mal die ersten Terme dieser Rekursion auf. Dann siehst du es.

Und woher die Wurzel kommt, solltest du selbst rausfinden können.

---

Okay ja klar die Wurzel ist logisch, dumm von mir, aber ich versteh immer noch nicht wie du auf g_n=(\( \frac{b}{a} \))^n-1 kommst?

---

Es gilt \(\frac{g_{n+1}}{g_n}= \frac ba\). Also \(g_{n+1} = \frac ba\cdot g_n\).

Daher:

\(g_2 = \frac ba\cdot g_1\)

\(g_3 = \frac ba\cdot g_2 = \left(\frac ba\right)^2 g_1\)

... usw.

Answer 2

Vielliecht noch ein anderer Blickwinkel

https://www.geogebra.org/calculator?command=a=6;b=5;l1=IterationList(Dilate(Rotate(XX,90%C2%B0),((b)/(a))),XX,{Polygon((0,b),(a,0),(0,0))},9)

Rotiere 90° und verkürze um b/a ( a wird zu b)