Wie zeige ich die Stetigkeit in Q?

Question

Aufgabe:

Wir definieren die Funktion f : ℝ → ℝ durch

 \( f(x) = \begin{cases} 0 & \text{für }x\leq \sqrt2\\ 1 & \text{für } x>\sqrt2 \end{cases}\)

Zeigen Sie: f ist stetig auf ℚ, aber nicht auf ℝ.

Problem/Ansatz

Ich bin wohl an die Idee gekommen das Epsilon Delta Kriterium zu nutzen. Ich finde die Wurzel ärgert mich einfach extremst. Wenn ich daran denke, dass der Betrag von f(x)-f(x_0) echt kleiner als Epsilon ist und ich zb. Epsilon =1 wähle, mir unklar ist, ob ich nun sqrt(x) - sqrt(x_0) habe oder in anderen Worten, sqrt(x) - sqrt(2) < 1

Comments

Also ich bin durch schauen und lesen anderer Beiträge dazu gekommen aufgeschrieben zu haben, dass ich f(x)-(fx_0) durch sqrt(x) - sqrt(x_0) schreibe, dann erweitere s.d. man über den 3ten Binomischen Lehrsatz zu einer Ungleichung kommt die wie folgt aussieht.

|x-x_0| < Epsilon * (sqrt(x) - sqrt(x_0)

Jetzt kann ich sagen,dass |....| < ...< delta ist, korrekt ? Aber habe ich damit im allg. die Stetigkeit von Q gezeigt ?

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Es ist nicht f(x)=sqrt(x)

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Strenggenommen habe ich ja keine Funktionsvorschrift, sondern nur einen Funktionswertvorschrift.

Also folgt daraus, dass für x< sqrt(2) ich aus |f(x)-(x_0)| < E = | 0-0| < E habe.

Ich müsste dann kurz überlegen was ich daraus machen kann. Habe mich erst jetzt an den PC gesetzt.

Wie ich eben sehen durfte habe ich unten weitere Antworten erhalten.

Answer 1

Wenn du die Stetigkeit in Q zeigen willst, dann wähle doch einfach

ein xo aus ℚ und betrachte f in einer Umgebung von xo.

Da √2 ∉ ℚ, ist also δ:=|xo - √2| positiv, und somit f in der δ-Umgebung

von xo konstant ( 0 oder 1 je nachdem xo <  √2 oder xo > √2 ) und

damit stetig in xo.

Beim Def.bereich ℝ ist es für alle Stellen analog,

außer für xo=  √2. Da ist f nicht stetig, Betrachte etwa

die Folge xn= √2    +  1/n   . Die geht gegen  √2

aber die Folge der Funktionswerte nicht gegen f(√2).

Comments

Warum kann man nicht einfach sagen: Bei x= √2 liegt eine Sprungstelle vor.

Die Grenzwert von links und rechts nähern sich nicht an.

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Ob das einfacher ist oder nicht ist wohl Ansichtssache.

Für Def.berech ℚ kann man es sicher nicht sagen.

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Das stimmt. Seltsam, dass man mit 2 Definitionsbereichen in derselben Aufgabe arbeiten soll.

Ich kann mir nicht so recht vorstellen, wie man sich mit rationalen Zahlen an √2 herantastet und kein Sprung entsteht.

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Was spricht gegen mein Argument:

Ist z.B. x∈ℚ und x>√2, dann ist x-√2 > 0

und in der Umgebung um x mit diesem Radius

sind alles nur Elemente größer als √2,

also ist f in dieser Umgebung konstant und somit

stetig bei x.

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Was spricht gegen mein Argument:
Ist z.B. x∈ℚ und x>√2, dann ist x-√2 > 0
und in der Umgebung um x mit diesem Radius
sind alles nur Elemente größer als √2,
also ist f in dieser Umgebung konstant und somit
stetig bei x.

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Was spricht gegen mein Argument:

Dann verstehst du mich falsch.Ich wollte dir nicht widersprechen, sondern dir nur mein Problem nennen. Vlt. kannst du es mitr auf dem Zahlenstrahl noch anders erklären. Wie soll ich mir die rationale Annäherung von links und rechts ohne Sprung vorstellen?

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Der Unterschied zwischen ℝ und ℚ ist m.E. auf dem

Zahlenstrahl nicht zu erkennen. Manchmal ist das

mit der Anschaulichkeit etwas schwierig, deshalb hat

man wohl sowas wie die Epsilontik erfunden.

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Verstehe, Danke trotzdem. Ich bin nunmal ein Liebhaber der maximalen Anschaulichkeit.

Dass es da Grenzen gibt, ist klar.

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Wenn der Definitionsbereich Q ist, dann liegt sqrt(2) nicht in Q. Damit ist "f ist stetig im Punkt sqrt(2)" weder wahr noch falsch, sondern schlechthin nicht definiert.

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Es gibt doch unendlich viele rationale Zahlen rechts und links der Lücke, oder?

Links von ihr gilt f(x) = 0 , rechts von ihr f(x) = 1.

Also muss es einen Sprung geben und damit wäre f nicht stetig. Wo ist mein Denkfehler?

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Die Lücke ist halt nicht in Q.

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Aber was ist mit den beiden Teilfunktionen?

Was heißt das für f(x) = 0 bzw. f(x) =1

f(1,3) = 0

f(1,5) = 1

Wie/Wo findet der Übergang statt?