Bestimmen Sie alle ganzzahligen Lösungen x, y ∈ ℤ von x^2+ 4x + 1 = 4y^2

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle ganzzahligen Lösungen x, y ∈ ℤ von
x²+ 4x + 1 = 4y²
Hinweis: Betrachten Sie die Gleichung Modulo n für ein geeignetes n ∈ N.

Problem/Ansatz:

Ich bin schon soweit, dass ich mir überlegt habe, dass ich die Gleichung Modulo 4 betrachten muss. Weiterhin habe ich mir überlegt mit den Restklassen zu arbeiten, welche ja 0,1,2,3 sind, aber dann fehlt mir irgendwie der Weitere Ansatz, damit dies auch mathematische korrekt aufgeschrieben wird. Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?

Comments

Hallo

wenn du mod 4 arbeitest steht da doch x^2+1=0

wie kommst du auf mod 4?

lul

---

Ja also genau weil ich auf diese Gleichung komme, habe ich an mod 4 gedacht, da ja so y wegfällt und wir eine Gleichung mit einer Variablen haben, was lösbar ist und einfacher ist als die Ausgangsgleichung. Oder meinst du das ein anderes Modulo sinnvoller wäre?

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

dass ich mir überlegt habe, dass ich die Gleichung Modulo 4 betrachten muss ...

das ist doch ein gute Idee. Und wie lul schon richtig geschrieben hat, steht dann da:$$x^2+1 \equiv 0 \mod 4$$Ein \(x^2 \mod 4\) kann aber nur die Werte \(0\) oder \(1\) annehmen. Und damit ist bereits gezeigt, dass es kein \(x\) gibt, welches die Gleichung erfüllt.

Und wenn für \(\mod 4\) keine Lösung existiert, dann gibt es in \(\mathbb{Z}\) erst recht keine. Also ist die Lösungsmenge leer!

Gruß Werner