Differentialgleichung 3. Ordnung y’’’-y’’-y’+y=|x|

Question

Gegeben ist die differentiale Gleichung:

y’’’-y’’-y’+y=|x|

Könnte jemand bitte zeigen, wie man das lösen kann?

Answer 1

Hallo,

Betrachte 2 Fälle, einmal die Störfunktion für x und dann für -x

Ansatz : y=e^(λx) , 3 Mal ableiten und in die DGL einsetzen:

\( y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=|x| \)

charakt. Gleichung:λ^3 -λ^2-λ+1=0
\( \begin{array}{c} (\lambda-1)^{2}(\lambda+1)=0 \\ λ_{1}=-1 \\ λ_{2,3}=1 \\ y=C_{1} e^{-x}+C_{2} e^{x}+C_{3} e^{x} x \end{array} \)

Ansatz partikuläre Lösung:
yp=A+Bx

yp'=B

yp''=0

yp'''=0

 -Einsetzen in die DGL:

-B+A+Bx =x

Koeffizientenvergleich:

x^0:-B+A=0

x^1:B=1, A=1

yp=1+x

y=yh+yp

dann noch das Gleiche für =-x berechnen

yh ist das Gleiche

yp=-x-1

y=yh+yp